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1、复变函数与积分变换教学大纲课程编号：课程名称:复变函数与积分变换/Function of One Complex Variable and Integral Transformation 学时/学分：48/3先修课程:高等数学、线性代数适用专业：工科类开课学期：第3学期开课学院、系或教研室：理学院数学系、统计学系一、课程的性质、目的与任务 本课程为非数学学科理工科类研究生的公共选修课，介绍复变函数与积分变换的基本知识，提高学生解决实际问题的数学能力。二、课程教学基本内容、基本要求及学时分配 （一）教学内容 1复数 理解复数的概念。熟悉复数的多种表示法、复数的四则运算及开方运算。理解复数运算的几
2、何意义。理解区域、单连通域、多连通域和复球面等概念。掌握用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。 2解析函数 理解复变函数以及映射的概念；了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西黎曼条件；掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数，从而得到解析函数的方法；记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些主要性质。 3复变函数的积分 理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般计算方法；掌握柯西定理及其推论；熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分；了解莫累拉定理。 4级数 了解复数项级数的敛散性
3、及有关概念、主要性质及重要定理；了解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质；记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数；理解罗朗级数的作用，并能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数；理解孤立奇点的概念、分类及判别方法。 5留数 理解函数在孤立奇点留数的概念；掌握并能熟练应用留数定理；掌握留数的计算，尤其要熟悉较低阶极点处留数的计算；能用留数来计算3种标准类型的定积分。6 富里叶变换 理解富里叶变换的定义；掌握富里叶变换的性质与计算；7 拉普拉斯变换 理解拉普拉斯变换的定义；掌握拉
4、普拉斯变换的性质与计算；会用拉普拉斯变换求解微分方程。 （二）基本要求 1. 理解下列概念： 区域，解析，调和函数，复积分，级数，奇点，留数，积分变换。2 掌握下列定理及公式： 柯西-黎曼方程，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式，留数定理。3 熟练运用下列性质与方法： 泰勒展开，罗朗展开，奇点分类，留数计算，积分变换性质。 （三）学时分配 序号内容学时安排小计理论课时实验或习题课时上机课时1复数662解析函数663复变函数的积分664级数665留数886富里叶变换887拉普拉斯变换88总 计4848三、本门课程内容的重点、难点 1 复数 重点：复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表
5、示区域。 难点：用不等式表示区域。 2 解析函数 重点：函数解析性的判断，掌握和运用柯西黎曼条件，能从已知的调 和函数求其共轭调和函数。 难点：能从已知的调和函数求其共轭调和函数。 3 复变函数的积分 重点：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法。 难点：复合闭路公式的运用。 4 级数 重点：函数展开成泰勒级数；在不同环域内将函数展开成罗朗级数；孤 立奇点类型的判别。 难点：孤立奇点类型的判别。 5留数 重点：留数的计算及应用留数定理计算复积分与定积分。 难点：留数的计算。 6 富里叶变换 重点：富里叶变换性质与计算。 难点：涉及广义函数的富里叶变换。 7 拉普拉斯变换 重点：拉普拉斯变换性质与计算；用拉普拉斯变换求解微分方程。 难点：涉及广义函数的拉普拉斯变换。四、推荐教材及参考书教材：复变函数，西安交大编，高等教育出版社。 积分变换，东南大学编，高等教育出版社。复变函数与积分变换，包革军等（哈工大）编，科学出版社。 参考书：执笔：审阅： 日期：审定： 日期：
