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1、南 京 航 空 航 天 大 学研究生考试试卷 共 5 页 第 1 页二OO 八 二OO九 学年 第 1 学期 矩阵论 课程 A卷 考试日期: 2009年1月13 日 课程编号：A000003 学院 学号 姓名 成绩 一（20分）设, （1） 求的特征多项式和的全部特征值； （2） 求的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出的Jordan标准形。 共 5 页 第 2 页二（20分）（1）设，求；（2） 设是上的相容矩阵范数，证明：（i） 如果是n阶可逆矩阵，是的任一特征值，则；（ii） 如果是可逆矩阵，令，则是上的相容矩阵范数。 共 5 页 第 3 页三（20分）设，（1） 作出A的满秩
2、分解，计算；（2） 应用广义逆矩阵判定线性方程组是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；（3） 设是实矩阵，是维实向量，证明：不相容线性方程组的最小二乘解唯一当且仅当列满秩。 共 5 页 第 4 页四 (20分)设表示实数域上全体上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加法和数量乘法）。 （1） 求的维数，并写出的一组基； （2） 在中定义线性变换：, 求在（1）中所取基下的矩阵表示；（3） 求（2）中线性变换的值域和核，并确定它们的维数；（4） 在中能否取一组基使得（2）中线性变换在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一组基；如果不能，则说明理由。 共 5 页 第 5 页五（20分）设为n阶Hermite矩阵，证明：（1） 存在唯一Hermite矩阵使得；（2） 如果，则；（3） 如果，则。
