《向量三点共线定理及其延伸应用汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量三点共线定理及其延伸应用汇总（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明O（0为平面内任意一点）1、向量三点共线定理：在平面中 A B、C三点共线的充要条件是:，其中 x y =1.那么x y ： 1 x y . 1时分别有什么结证？并给予证明结论扩展如下：1、如果0为平面内直线BC外任意一点，则当x y 1时A与0点在直线BC同侧，x y . 1时,A 与0点在直线BC的异侧，证明如下：II设 oA = xOB yOC且A与B、C不共线，延长0A与直线BC交于A1点设=0A （工0、工1） A与B C共线则存在两个不全为零的实数m nm0 bn 0C且 m n =1(1)
2、1 贝 U x y 1 则A与0点在直线BC的同侧（如图1）则0A = m0B n0C= 0A0B n0Ck扎m nx 、 y 一m +n 1x y =1（2）：0,则x 厂丄:0 1，此时0A与2)A图2（3） o ： 1，则 x y . 1 此时 OA 二1 OA1 . oA-.A与0在直线BC的异侧（如图3）2、如图4过O作直线 平行AB 延长BO AO将AB的O侧区域划分为6个部分，并设则点P落在各区域时，x : 0I0（）0 vx + y c1(I)区:OP = xOA yOB ,y满足的条件是：x 0y 00 ： x y : 1区:图40 ：x y : 1x： 0Iy 0i一1 ：
3、 x y ： 0x 0Iy T -1 I T T|OB|PM|PM1|, |PN|RN1|, OP=OM +0N =OA + %2OB.其中人|0A|h 0, 20 .由于2虽画_囤囤|电| |药|OA| |OB| 一|OA| |OB| |OA| |OB|1 T T=LABJ =1.而充分性由上述各步的可逆性易知|AB| |AB| |AB|事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七:推论七：已知平面内不共线向量AB , AC且+1盂2忌分别记过点A且与BC平行的直线为11 ,直线BC AB, AC分别为l2,l3,l4.则:P点在直线12 上二2 =1 ； P 点在直线 12 不含
4、 A 点一侧二1：二.2 1 ；P点在直线12与 11 之间=0 ： 2 : 1 ；P点在直线11上=1 2 =0 ； P点在直线11不含直线12 一侧=1 2 ：0 ；P点在直线13不含C点一例二 匕”：0, R ; P点在直线13 含 C 点一侧：=20,1 R ;P点在直线14不含B点一侧二 ： 0, 2 R , P点在直线14 含 B 点一侧二、0, R.证：设直线AP与直线BC相交于点P ，则设BPtBC ,AP =AB BP =tBC 启 t(TC)=(1_t)AB tAC故P若在直线BC上，则x 2 =1,又 AP, AP共线，则A-kA?,故：、ABAC二k（1-t）AB tA
5、C,则7P3P3l11213P214(ktk+人)AB = (kt 毎)AC, /abac不共线，贝y kt kj1 一0I kt - 2=0(1)P在区域内，则0k1，即02 ：1，且仆2均为正实数，即0 ： ： 1,0 ： 2 ： 1 ；(2)P在区域内，则0k1，则 20 , 1 :： 0 ,且 0 ： 1 2 ”： 1；(3)P在区域内，则k0,1 :： 0, 20 ,且(4)P在区域内，则k0,:： 0, 2 ： 0，且1 2 ”： 0；(5)P在区域内，则k1 ,1 1, 2 ： 0 ,(8)P在区域内，则k1,(9)P在区域内，则k1,综上：当P点位于11上方,1 2 0 ；当P
6、点位于h下方12上方，1 S （0,1）；当P点位于12下方：； 1 ；当P点位于13左边，2 : 0 , 13右边，2 0 ；当P点位于14左边， 1 0 , 14右边 1 ： 0从而得证注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用二、应用举例1例1如图，在平行四边形 ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上 .BN=BD，求证:3M N、C三点共线.I 吗I H 4AD = q , ( e 与 e,不共线)，贝y BD = e2 e .n为BD的三等分点， BN一：) ,而 BM = 1 BA 二312证：设 AB = e.|，D31 1 耐 21 ， I
7、， 2I 2- BNe，e，( )e,0，BM BC BM ,333323333N C三点共线.3C三点不共线，则点 M设M, N分别是正六边形三点共线，分析：要求，的值，只需建立 向量形式中.解：延长EA CB交于点P,求的值.吩1小2，且 m+n=1,33ABCDEF勺对角线AC CE的内分点，且CNACf（ ）=0即可，而f（ ）=0就隐含在直线方程的设正六边形的边长为1,易知 ECP为Rt ,AE=AP=AC= 3 , PB=2,A是 EP之中点，= Cn ,CE，若 B、M NC1113CN 3CB CN CB,2 2 2 21, CA CM ;1-九1-入 T 3(1-h)T CNCB ;21 二 CA (CE CP)二2又. AM =CNAC 一 CE113CN CB= CM 二2221_w知, 31）=1 ：-即为所求23 B、M N三点共线.由推论（三）（06年江西高考题）已知等差数列an的前n项和为S,右 OB = arOA a20OC，且 A、BC三点共线，（设直线不过点 O）,则S200 =A. 100B. 101C. 2005 / 7D. 2011 3A（4,
