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1、类型一 圆的基本性质证明与计算命题点1垂径定理例1、如图，CD是O的直径，AB是弦(不是直径)，ABCD于点E，则下列结论正确的是( )AAEBEB.CDAECDADECBE【答案】：D命题点2圆周角定理例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，AOC108，点D在AB的延长线上，BDBC，则D_【答案】：27重难点1垂径定理及其应用例3、已知AB是半径为5的O的直径，E是AB上一点，且BE2.(1)如图1，过点E作直线CDAB，交O于C，D两点，则CD_； 图1 图2 图3 图4探究：如图2，连接AD，过点O作OFAD于点F，则OF_；(2)过点E作直线CD交O于C，D两点若AED30，如图3，则
2、CD_；若AED45，如图4，则CD_【答案】：（1）8 , （2） 【思路点拨】由于CD是O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的O上若OABC，CDA30，则弦BC的长为( )A4 B2 C. D2【答案】：D【变式训练2】【分类讨论思想】已知O的半径为10 cm，AB，CD是O的两条弦，ABCD，AB16 cm，CD12 cm，则弦AB和CD之间的距离是_【答案】：2cm或14cm1垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧2圆中有关弦的
3、证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解3事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长重难点2圆周角定理及其推论例3、已知O是ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若A30，求BC的长；(2)如图2，若A45：求BC的长；若点C是的中点，求AB的长；(3)如图3，若A135，求BC的长 图1 图2 图3【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【点拨】连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解【解析】解：
4、(1)连接OB，OC.BOC2A60，OBOC，OBC是等边三角形BCOB4.(2)连接OB，OC.BOC2A90，OBOC，OBC是等腰直角三角形OBOC4，BC4.点C是的中点，ABCA45.ACB90.AB是O的直径AB8.(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.A135，D45.BOC2D90.OBOC4，BC4.【变式训练3】如图，BC是O的直径，A是O上的一点，OAC32，则B的度数是( )A58 B60 C64 D68【答案】：A【变式训练4】将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A，B的读数分别为88，30，则ACB的大小为( )A15
5、B28 C29 D34【答案】C1在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧2弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决3一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒重难点3圆内接四边形例4、如图，四边形ABCD为O的内接四边形延长AB与DC相交于点G，AOCD，垂足为E，连接BD，GBC50，则DBC的度数为( )A50 B60 C80 D90【答案】C【思路点拨】延长AE交O于点M，由垂径
6、定理可得2，所以CBD2EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得ADEGBC，而ADE与EAD互余，由此得解【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为O的内接四边形，BCD120，则BOD的大小是( )A80 B120 C100 D90【答案】B【变式训练6】如图，四边形ABCD内接于O，E为BC延长线上一点若An，则DCE_【答案】n1找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质2在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍能力提
7、升1如图，在O中，如果2，那么( )AABAC BAB2AC CAB2AC DAB2AC【答案】C2如图，在半径为4的O中，弦ABOC，BOC30，则AB的长为( )A2 B2 C4 D4【答案】D3如图，在平面直角坐标系中，O经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作OEOC于点E，ODOB于点D.若OB8，OC6，则O的半径为( )A7 B6 C5 D4【答案】C4如图，在O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若A60，ADC85，则C的度数是( )A25 B27.5 C30 D35【答案】D5如图，ABC是O的内接三角形，ABAC，BCA65，作CDAB，并与O相交
8、于点D，连接BD，则DBC的大小为( )A15 B35 C25 D45【答案】A 6如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若F27，A53，则C的度数为( )A30 B43 C47 D53【答案】C7 如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是_cm.【答案】10cm8如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC外接圆的半径【答案】：
9、(1)证明：AD平分BAC，BE平分ABC，BAECAD，ABECBE.DBCBAE.DBECBEDBC，DEBABEBAE, DBEDEB.DEDB.(2)连接CD.，CDBD4.BAC90，BC是直径BDC90.BC4.ABC外接圆的半径为2.9如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC90，AB5，BC10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE3，则AD的长为( )A5 B4 C3 D2提示：过点D作DFAC于点F，利用ADFCAB，DEFDBA可求解【答案】D10如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DEAB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若，则
10、_【答案】11如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC60 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD130 cm，B1D1C1120.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(1010)cm.【答案】,12如图所示，AB为O的直径，CD为弦，且CDAB，垂足为H.(1)如果O的半径为4，CD4，求BAC的度数；(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由【答案】：(1)AB为O的直径，CDAB，CHCD2.在RtCOH中，sinCOH，COH60.BACCOH30.(2)证明：点E是的中点，OEAB.又CDAB，OECD.ECDOEC.又OEOC，OECOCE.OCEDCE，即CE平分OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，236，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个
