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1、艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计摘要 在研究武器装备的维修时间的过程中，俄罗斯的数学家引入了艾拉姆咖分布，该分布对装备 维修理论的研究起到了积极的作用。首先，我的的论文在经典统计学中，对艾拉姆咖分布的参数进 行了矩估计和最大似然估计；然后，在选取指数分布函数作为先验分布的条件下，研究了艾拉姆咖 分布在 Linex 、复合 Linex 、 MLinex 和复合 MLinex 损失函数下的 Bayes 估计，并且深入对艾拉 姆咖分布的参数在复合Linex和MLinex损失函数下的多层Bayes估计的研究；最后，利用matlab 软件，产生了一组随机数，对在Linex损失函数的情况下，比较了矩估计、最大
2、似然估计和Bayes估 计的三个估计的估计值；并且对不同损失函数下，不同参数值对艾拉拉姆咖分布的Bayes估计的估 计值变化的影响进行了研究。关键词损失函数 Bayes估计 多层Bayes估计 数值模拟 matlab软件Bayesian Estimation of 3pnaHa Distribution Parametersunder Different Loss FunctionsAbstract The 3pnaHa Distribution Parameters plays an important role in studying the maintenance of the mome
3、nt estimation First, this paper in classical statistics, compared in the case of Linex loss the and he moment estimation maximum likelihood estimation;Then, under the condition of selecting the function as the prior distribution, exponential distribution is studied in Linex, composite Linex, MLinex
4、and composite MLinex bayesian, and further to the parameters of the exponential distribution, the the moment estimation of the exponential distribution oss function of empirical bayes estimation and bayesian estimation research; Finally, using matlab software, a set of random Numbers is created, and
5、 the estimation values of the moment estimation, maximum likelihood estimation and bayesian estimation are compared in the case of Linex loss funection. In addition, the moment estimration of the exponedntial distrribution and the estimtation valdues of the modment estidmation loss functions.Key wor
6、ds Loss function Bayesian estimation of Multilayer bayesian estimation Data simulation Matlab software目录引 言 11经典统计学中的参数估计 21.1参数的矩估计 21.2参数的极大似然估计： 22不同损失函数下的贝叶斯估计 32.1 Linex损失函数下的贝叶斯估计 52.2复合Linex损失函数的贝叶斯估计52.3 MLinex损失函数下的贝叶斯估计62.4复合MLinex损失函数下的贝叶斯估计73超参数2的估计84不同损失函数下的多层Bayes估计104.1复合Linex损失函数下的多层
7、贝叶斯估计 114.2复合MLinex损失函数下的多层贝叶斯估计 125实例分析与数据模拟 135.1 Linex损失函数下估计量的比较 135.2艾拉姆咖分布参数各种损失函数下的贝叶斯估计比较145.3复合Linex损失函数下估计量的比较分析 145.4 MLinex损失函数下估计量的比较 15结 论 16参考文献 17致 谢 错误!未定义书签。第II页引言通过从各方面、多角度的查询资料，我们了解到指数分布是一种具有遗失记忆性特点的连续型 的概率分布。在我们的生活之中，随机事情独立发生的时间间隔可以用指数分布来表示。在概率论与数理统计中，常见的损失函数有很多，然而艾拉姆咖参数在不同损失函数下
8、的Bayes估计和E - Bayes估计，到现在暂时还没有相关性的研讨结果。文献1 对艾拉姆咖参数在 熵损失函数、二次损失函数、平方损失函数的Bayes估计进行了研究，并且深入讨论了关于Bayes 估计8 B的容许性；文献2主要对在复合Linex损失函数下Burr XII分布下参数0的Bayes估计 和E - Bayes估计进行了研究，并且进行了随机数值的模拟与检验，还在一定程度上对参数0的 Bayes 估计和 E - Bayes 估计的合理性及优良性进行了探讨；文献3研究了对于在不同损失函数 的情况下，对任意先验分布参数的 Bayes 估计；文献4讨论了在复合 MLinex 损失函数下对数
9、Gamma分布的尺度参数的Bayes估计、E - Bayes估计和多层Bayes估计，并给出了数值模拟。我的这篇论文主要对艾拉姆咖分布的参数在Linex、复合Linex、MLinex和复合MLinex四种 不同的损失函数下的Bayes估计以及艾拉姆咖分布的参数在复合Linex和复合MLinex两种不同的 损失函数下的多层Bayes估计进行了研究，并给出数值模拟。1 经典统计学中的参数估计1.1参数的矩估计设x x x为来自艾拉姆咖分布容量为n的随机样本，令x= ( xx x )12,、, n12,、, n艾拉姆咖分布的概率密度函数为：1)2)F (x, 0) = 40 2 xe -2 ox艾拉
10、姆咖分布的密度分布为f (x, 0) = 1一(1 + 2Ox )e -2 ox由此便可以得到参数0 的矩估计为：所以：由上述过程可以得到参数0的矩估计为：1.2参数的极大似然估计：E(x) =fI 00=J 40 2 x 2 e -2 oxdx0-2ox2d(e-2ox)=J 40xe-2 oxdxE(x)10 =ME x对于P( x; 0)，0，其中0表示的是参数，表示的是空间参数,3)4)5)x ,x，X表示的是12n来自于总体的样本，如果将样本的联合概率密度函数看成是关于0 的函数，那么记为 (0 ；x,x，x)，简记为L(0 )12nL(0)二L(0;x ,x ,x)=P(x ;0)
11、P(x ;0)P(x ;0)12n12n(0 )称为似然函数。如果(Xi，%，七)满足L 0 = max L(0)V 丿 0G0则称介是0的最大的似然估计。那么，根据上述的分析可以得到艾拉姆咖分布参数0 的似然估计如下7)似然函数：L(0)=L(0;x ,x ,，x )12n=Hp(X )ii=i8)对两边取对数可得：=4 n 0 2 n R X eii=1一20区i=1xi (x 0)iLnL (0 )= nLn 4 + 2nLn0 + 区xLnx - 2n9)i=1i=1对两边求导数，令导数方程的直为0：6LnL (0)2n60=010)i=1得：MLE11)i=1所以，根据上述的分析过程
12、可以得到参数的最大似然函数估计为：12 不同损失函数下的贝叶斯估计引理2.1选择兀(0)作为艾拉姆咖分布参数0的先验分布，那么先验分布的密度函数:兀(0) = Xe 九00 0其中公式中的入为超参数并且其中的九0。参数0 的后验密度函数公式为：(九+ M X)2n+1yh(9 2-9 2 ne( - (x+2i=1X913)证明该参数的后验密度函数公式的过程如下：h(9 I x ) = jL (X I 9 )兀(9 )+8 L (X I 9 )兀(9 ) d 904 n 9 2 n R x e ” x ,X e -入9ii=1J 8 4 n 9 2 n xe 20”xi ,X e -入9 d9
13、 0i=i 9-29yn xi9 2n e =1 z e -入9J89 2n e - 2 9y xe -X9 d 9014)(九 + 2 工 x. )99 2 n e i = JJ89 2ne-(一2另 xi)9 d90为了方便计算最终的结果令 A九+ 2另xii =19 2n e-A6则可以推出原式=J叫2n e-A9 d9015)然后令 g(9) = j 892ne一A9d90接着再令A9 = t由此得到：g (9) = J8( A)2 n1e_t.dtAr(2n +1)A2n+116)那么可以得到最终的原式表达式为：(2n!)乙 x )2 n +1ii=1(九+M X )2n+1yiO(
14、-(九+2 乙x.)0i=10 2ne 一(2 n!)17)则可以算出X的边缘分布密度m(x)为:m(x)二 J L(x x x 加(0)d0012 nL(x x x )兀(0)=12nh(0 I x)=(2n !4 n 九)Jx(九+ 2工 X )2n+1 i=1ii=118)接下来的部分我们将会针对在Linex损失函数、复合Linex、Linex损失函数下和复合MLinex损失函数等四种不同的损失函数下的贝叶斯估计以及艾拉姆咖分布参数在复合Linex 和复合Mlinex两种不同的损失函数下的多层贝叶斯估计进行了研究一一推导出贝叶斯估计的表达式，并进行了数值模拟，然后通过分析数据，得到一些结论。2.1 Linex损失函数下的贝叶斯估计定理2.1.1参考引用的文献1:对于规定的先验分布指数分布，在Linex损失函数下，艾拉姆2工x +九Ai咖分布参数e的贝叶斯估计是容许的8A = -(2n + 1)c-iln戸归+i且是唯一的。Bq2Lx + 九 + cii=12.2复合Linex损失函数的贝叶斯估计定理2.2.1对于规定的先验分布指数分布，在复合Linex损失函数下，艾拉姆咖分布参数的贝1
