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1、2020学年陕西省四校联考高三（上）12月模拟数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，则A. 或B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先化简集合A，B，然后求二者并集即可.【详解】，则故应选D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.已知复数是虚数单位，则z的实部为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解
2、】，z的实部为故应选B【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.函数的图象可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，排除A；当时，排除D故应选C【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知向量，则与的夹角为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代
3、入求解即可得出答案.【详解】；又；与的夹角为故选：A【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.5.在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】在1, 2, 3, 6中随机取出三个数，所有的可能结果为(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)，共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1, 2, 3) ，共1种有古典概型概率公式可得所求概率为即数字2是这三个不同数字的平均数的概率是选A6.直线与圆的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定【答案】
4、B【解析】【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较，判断二者位置关系.【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，则圆与直线的位置关系是相切故应选B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键7.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则角A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，故应选B【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有
5、关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.8.执行如图所示的程序框图，输出的A. 25B. 9C. 17D. 20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可【详解】按照程序框图依次执行为，；，；，退出循环，输出故应选C【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结
6、果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.长方体，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，找出，故为异面直线与所成角，然后解出答案即可.【详解】如图，连接，由，为异面直线与所成角，由已知可得，则即异面直线与所成角的余弦值为故选：A【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.10.设函数，则A. 在单调递增，其图象关于直线对称B. 在单调递增，其图象关于直线对称C. 在单调递减，其图象关于直线对称D. 在单调递减，其图象关于直线对称【答案】D【解析】,由得，再由,所以.所以y=
7、f(x)在在单调递减,其图象关于直线对称,故选D.11.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，则C的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 又 的离心率为 故选A.12.已知函数，且，则实数a的值是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据表达式及，解得实数a的值【详解】由题意知，又，则，又，解得故选：B【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代
8、入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求出导函数求出，从而利用点斜式得到切线的方程.【详解】，又，所求切线方程为，即故答案为：【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为14.若x，y满足约束条件，则的最小值为_【答案】-11【解析】【分析】画出可行域如图,平移动直线根据纵截距的变化情况得到最小值.【详解
9、】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最小值，故答案为：-11【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知，则的值是_【答案】【解析】【分析】由已知得到，巧用“1”及弦化切得到所求的结果.【详解】由已知得，故答案为：【点睛】1利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sin
10、cos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，当且仅当时“”成立三棱柱的体积
11、故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等比数列满足，求数列的通项公式；记，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式； (2) 由（1）知，利用
12、裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知， 由题意得，所以解得，因此数列的通项公式为 （2）由（1）知， 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄x2832384248525862收缩压单位1141181
13、22127129135140147其中：，请画出上表数据的散点图；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；的值精确到若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的倍及以上，则为高度高血压人群一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？【答案】（1）见解析；（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据表中数据即可得散点图；（2）由题意求出，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群【详解】（
14、1）（2），回归直线方程为（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为，收缩压为的70岁老人为中度高血压人群【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点求证：平面；求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】取BC中点E，连接，证明平面，得，由直线与平面垂直的判定定理，可得所证结论连接，则三棱锥的体积可以通过求三棱锥的体积得到【详解】证明：由正三棱柱的所有棱长都相等可知：如图，取BC的中点E，连接，则由平面平面，平面平面，且得，平面，平面，平面，平面平面，平面，
