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1、第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为： （a）当时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为： （b）若使，则式中，具有非零解的条件为 （c）上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则，而且，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为 （d）若应变分量之间满足，则此点的
2、应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。解：各向同性条件下的广义虎克定律为 将上式中的（1）（2），（2）（3），（3）（1）分别得：即证明：当其主应力的大小顺序为时，其主应变的排列顺序为。且，利用
3、上述正应力之差和正应变之差的关系式有。习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力作用下，测得体积应变，若泊松比=0.3，试求该物体的弹性模量。解：设为第一应力不变量，而，据各向同性条件下的广义虎克定律为有：，其中体积应变，故有 。 习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以表示）。解：设柱体的轴线z轴，。因为横向变形被限制， 所以。据各向同性条件下的广义虎克定律图3-1 得：，将此两式相减得：，而泊松比的理论取值范围为，故，将其代入广义虎克定律得： 从而，得解。习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成
4、60。和90。方向上的正应变，其值分别为，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（，）。解：设该点的x，y轴向的正应变分别为，剪应变为。任意方向（为与x轴正向的夹角）上的正应变为：，所以，解由此三式组成的方程组得该点的，和分别为：,。（1）计算该点的主应变：由、 、和得该点的主应变为：，。（2）该点的最大剪应变。（3）计算该点的主应力：现、，据向同性条件下的广义虎克定律得 ，即，所以将、及、代入上面三式得：,。习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：。解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：设杆件横截面积为，弹性模量为，如图建立坐标系。杆件为
5、单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即。同时轴向纤维间无相互作用力，即。据弹性应变能理论的应变能公式（其余分量产生的应变能为零）。O图3-2现在杆件上x处取一微段dx，其体积为，其应变能,而整个杆件的拉伸应变能为： 而，故 整个杆件的拉伸应变能为：（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：在材料力学中杆件在外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即和。在杆件上沿轴向去取一微段，在此微段的横截面上取一个微面，在上的应力可为相同的，而。，。故，其中只与x有关。杆件弯曲的挠度为，挠度曲线的
6、曲率为（3）圆轴扭转的变形能公式推导：设圆轴的轴向为z轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z轴相邻两截面的距离不变，故有，。在圆轴轴向z处取一微段，在微段的横截面（圆截面）上的半径处取一微面积，上的应力可为相同的，那么。据平衡方程有：而，故，令。，而，故，只与z有关，即 。习题7、试推导体积变形应变能密度及畸变应变能密度的公式分别为：解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：，即。其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张
7、量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：，即，变形应变能密度分为体积变形应变能密度与畸变应变能密度之和，即 其中，。所以无论如何有： ，故 。据虎克定律有： ，。据虎克定律有：，习题8、如图所示结构，梁AB在A处固支，长为l，截面积为F1，截面惯性矩为I。杆BC在B处与梁铰接，截面积为F2，。材料弹性模量为E，B点受载荷P的作用，设梁的压缩量为，挠度曲线为，和a均为待定的变形参数。考虑杆BC的拉伸及梁AB的压缩与弯曲，用最小势能原理求B点的水平和垂直位移。l-图3-3解：梁AB被压缩，其变形能为。杆BC被拉伸,其变形能为。其中，。梁AB的挠度曲线为，其弯曲变形
8、能为外力功为：。总势能为据最小势能原理：，其中可以取任何值，。B点的垂直位移为，水平位移为。习题9、如图所示，简支梁长为l，抗弯刚度为EI，中点受P力作用，支座之间有弹性介质支承，其弹性系数为k（即每单位长介质对挠度提供的支反力）。设挠度曲线为，试分别用李兹法和迦辽金法求梁中点B的挠度。图3-4解：（1）用李兹法求梁中点B的挠度：挠度曲线为 ，满足A，C两点的边界条件。简支梁的变形能为：。中点B处弹性支承的反力，弹性支承的变形能为：总变形能为：。外力功为：，总势能为：，按李兹法有：， ，。（2）用迦辽金法求梁中点B的挠度：将挠度曲线代入y向平衡方程得：，将其代入迦辽金方法的积分式中得：即习题1
9、0、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷，设该压杆的长度图3-5为l，抗弯刚度为EI（常数），其挠度曲线为。解：挠度曲线为可以满足所要求的边界条件，压杆失稳后的弯曲应变能为外力功，其中d为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移：势能为：。应用李兹法有，如果，此方程虽然是满足了，但是这表示该压杆保持直的，根本没有失稳，所以。由此得：，此结果正好是精确解，这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。习题11、已知如图所示的半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试用位移法求位移及应力分量。解：一、求位移函数用位移法求解时，须求出满足边界条件及满足以位移分量表
10、示的平衡方程组：图3-6M 其中，。可以找到满足平衡方程组的两组特解： （a） （b）上述两组特解的线性组合可作为通解： （c）其中A1和A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示的应力得： （d）在边界上（z=0面），除外力作用点外，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得： （e）另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得： （f）将（d）中的代入（f）得，积分此式得： （g）由式(e)、(g)解得 （h） 将A1，A2代入（c）式得位移函数为： （I）二、求应力分量将A1、A2代回(d)，可得应力分量的计算公式： （j）三、讨论：1）以上
11、所得应力和位移，当R增大时应力、应变值迅速减小，即带有局部性质。2）当时，各应力分量都趣于无限大，这是因为假设外力集中作用在一点的缘故，实际上载荷不可能加在一个几何点上，而是分布在一个小面积上，因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理，只要稍离集中力作用点，以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。3）由(j)式可见，当z=0时，在弹性半空间的边界面上有 （k）这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。4）当r=0，R=z时，即在z轴上的各点，由(j)式可得(l)式。这说明在z轴上各点受到两向拉伸、一向压缩，它的主应力为（m）式，以绝对值来比较，比径向及周向应力大得多。以上结
12、果是研究接触问题的基础。 （l） （m）习题12、试用应力函数求解第11题中半无限弹性体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用时的位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点的沉陷。解：半无限弹性体的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一个空间轴对称问题，所有的物理分量都只是r和z的函数，与无关。将上述应力函数代入如下求应力分量的公式： (a) 其中 (b)得 （c）在边界上（z=0面），除外力作用点外，前一条件自然满足，而后一条件由上式的第四式可得： （d）另外假想过M点作一与边界面平行的面，将半无限弹性体的上部取出，根据被取部分Z向平衡条件得： （e）将（c）中的代入（e）式并积分得 （f
13、）式(d)中r为任意值，故只有分子为零，即 (g) 由式(f)、(g) 解得C2和C3，将C2和C3代入式(d)得。然后利用虎克定律求出，根据求出C1。得应力分量为 （h）将（h）式 代入以应力分量表示的位移公式求出位移为利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为。习题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量（并假设在z=h处w=0）。解：由于对称（任意铅直面都是对称面）试假设。这样就得，。因为半空间无限大弹性体体力分量所以上述假设在x，y向满足以位移表示的平衡微分方程：图3-7而在z向的平衡微分方程为，简化后得 （a）积分后得
