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1、初三数学2007年寒假 与中点有关的辅助线作法 一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形.例1.已知：如图，AD为？ABC中线，求证：AB+AC2AD. C类题1.已知：如图，AD为？ABC的中线，AE=EF.求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形.例2.已知：如图，在？ABC中，/ C=90?， M为AB中点，P、Q分别在 AC、BC 上，且 PM 丄QM 于 M.求证：PQ2=AP2+BQ2.B A M类题2.已知：如图，？ABC的边BC的中点为N，过A的任一直线AD丄BD于 D，CE丄AD 于 E.求证：NE=ND.初三数学2
2、007年寒假二、有中点时，可连结中位线.例3.如图，？ABC中，D、E分别为AB、AC上点，且BD=CE , M、N为BE、 CD中点，连MN交AB、AC于P、Q，求证：AP=AQ .E MC例4.已知：如图，CD为。O的直径，向两方延长 CD，使AC=CD=DB，P为 OO上任一点（不与C、D 重合），连结 PA、PB、PC、PD.求证：tan/APC? tan/ BPD=14. B类题3.已知：如图，E、F分别为四边形ABCD的对角线中点，ABCD.求证：EF12（AB-CD）.DC四、在直角三角形中作斜边上的中线，利用其性质解题例5.如图在？ABC中，/ A90?, BD、CE分别是这个
3、三角形的高，M是边 BC的中点，连结DE、DM、EM .（ 1）按上述要求画完图形；（2）求证：?MDE是等腰三角形；（3）试探索：？MDE是否可能成为直角三角形？如果 能，请求出此时/ BAC的度数，如果不可能，请简要说明理由.2 C初三数学2007年寒假类题4.如图，？ABC中，AD是高，CE为中线，DG丄CE，G为垂足，DC=BE. 求证：（1） G 是 CE 的中点；（2）/ B=2/ BCE.五、有底边中点，连中线，利用等腰三角形 三线合一”性质证题/ BAC=90?,例 6.已知：如图，在 Rt?ABC中，AB=AC , D为BC边中点，P 为BC上一点，PF丄AB于F，PE丄AC
4、于E.求证：DF=DE.类题5.已知：如图，矩形 ABCD，E为CB延长线上一点，且 AC=CE，F为AE 中点，求证：BF丄FD.六、有中点，作中垂线例7.已知：如图，在矩形 ABCD中，点M是AD中点，点N是BC中点，P是 CD延长线上一点，PM交AC于Q，MN交AC于O.求证：/ QNM= / MNP.P初三数学2007年寒假类题6.已知：？ABC中，AD是BC边上的中线，/ C=2/ B, AC=12BC.求证：？ADC为等边三角形七、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法GB B （ 3） （ 2）B F （ 1）例8.已知：如图，在直角梯形 ABCD中，AD /
5、 BC, AB丄BC, M为CD的中 点.求证：AM=MB.C类题7.已知：梯形 ABCD中，AB / CD，E为BC中点，EF丄AD于F.求证：S 梯形 ABCD=EF? AD.初三数学2007年寒假有底的中点时，常过此点引两腰的平行线:例9.已知：如图，在梯形 ABCD中，AB / CD , ABCD，/ A+ Z B=90? E、F分别是AB、CD的中点.求证:EF=12 (AB -CD ).E F CB有对角线中点时，常把一顶点和对角线 中点连接，并延长与底相交，把梯形问 题转化为三角形问题解决如图（1）所示例10.已知：如图(2),在梯形ABCD中，AB / CD, E、F分别是AC
6、、BD中 点.求证：(1) EF/ AB ;( 2) EF=12BE(1) N C(AB-CD).B(2)【拓展训练】1. 证明：三角形任两条中线之和大于第三条中线 .已知：如图AD、BF、CE是？ABC的三条中线，它们交于 N，求证：BF+CEAD C初三数学2007年寒假2. 如图，连结四边形 ABCD的两条对角线BD、AC的中点M、N.求证：(CD- AB)DC，M为AD中点，且 BM 丄CM.求证：(1) BM 平分/ ABC，CM 平分/ DCB. (2) AB+CD=BC.2. 已知：如图，等腰？ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE平分/ BAC补角 / FAC，CE丄AE
7、于 E,连结 DE.求证：DE=AC .3. 已知：如图，梯形 ABCD中，BC / AD，E为CD的中点，AB=AD+BC .求 证：(1) AE 丄 BE;(2) AE 平分/ BAD .7 E D初三数学2007年寒假4. 已知：梯形 ABCD中，AD / BC, E为CD中点，EF丄AB于F.求证： S?ABE=12S梯形ABCD5. 如图，？ABC中，AM平分/ A , BD垂直于AM的延长线于点 D, DE / CA 交AB于E.求证：AE=BE .ACM6. 在？ABC, O为AB的中点，分别延长 CA、CB到点E、F,使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M，N. 求证：(1) ?DEM?DFN ;( 2)Z PAE=Z PBF.M PD
