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1、第三章 立体的投影立体按照其表面的性质，可分为平面立体和曲面立体两大类。表面全部由平面围成的立体称为平面立体，表面由平面和曲面围成,或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。3.1 平面立体一、 平面立体的投影及其表面上的点平面立体的各个表面均为平面多边形，多边形的边即为各表面的交线（棱线），因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制它的所有棱线及各棱线交点（顶点）的投影，然后判断可见性，将可见的棱线投影画成粗实线；不可见的棱线投影则画成虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。常见的平面立体是棱柱和棱锥。1 棱柱（1）棱柱的投影（a） （b）图3-1 正六棱柱的投影图3-1所示为一个正六棱柱的立体图和投影
2、图。从本章开始，在投影图中不再画投影轴，但各点的三面投影仍要遵守正投影规律：水平投影和正面投影位于铅垂的投影连线上；正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上；水平投影和侧面投影应保持前后方向的宽度一致及前后对应。图3-1a 所示的正六棱柱，它的上、下底面均为水平面，六个棱面中，前后两个为正平面，其余四个为铅垂面。作投影图时，先画上、下底面的投影：水平投影反映实形且两面重影；正面、侧面投影都积聚成直线段。再画六条棱线：水平投影积聚在六边形的六个顶点上；正面、侧面投影均反映实长。最后由读者自己分析各棱线和棱面的可见性。要特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系，作图时可直接用分
3、规量取距离，如图3-1b所示；但也可用添加45辅助线的方法作图，如图3-2b。（2）棱柱表面上的点棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同，先要确定点所在的平面并分析平面的投影特性。如图3-1b，已知棱柱表面上点M的正面投影m和N点的水平投影n，求作其它两个投影。因为m可见，它必在侧棱面ABB1A1上，其水平投影m必在有积聚性的投影上，由m和m可求得m, 因点M所在的表面A B B1A1的侧面投影可见，故m可见；由于N点的水平投影可见，它必在顶面ABCDEF上，而顶面的正面投影和侧面投影都有积聚性，因此n、n必在顶面的同面投影上。2棱锥（1）棱锥的投影如图32所示是一正三棱锥，锥顶为S，其底面为
4、ABC，是一水平面，水平投影abc反映实形。左、右棱面为一般位置平面，它们的各个投影为类似形，后棱面为一个侧垂面。（a） (b)图3-2 正三棱锥的投影作图时先画出底面ABC的各个投影，再作出锥顶的各个投影，然后连接各棱线即得正三棱锥的三面投影。同时，可以看出：三个棱面的水平投影都可见，底面的水平投影不可见；左、右棱面的正面投影可见，后棱面的正面投影不可见，左棱面的侧面投影可见，右棱面的侧面投影不可见。（2）棱锥表面上的点如图33所示，已知三棱锥上的点E和点F的正面投影e（f），求其水平投影e、f。如图33a所示，点E在前棱面SAB上，F在后棱面SAC上，实际上也就是已知三角形平面上一点的正面
5、投影求其水平投影的问题。【方法一】过点E、F分别作底边AB、AC的平行线（图33b）：过e（f）作ed和fd平行于ab和ac，从图中可见，它们分别相互重合，与sa交于d，由d在sa上作出d，并由d分别作deab、dfac，再从e（f）引投影连线，分别在de和df上交出所求的e和f。(a) (b) (c) (d) 图3-3 正三棱锥表面上的点【方法二】分别将点E、F与点S相连（图33c）：将e（f）与s相连，并延长到与底边ab、ac相交，得重合的1、2，由1、2分别在ab、ac上作出1、2，连s和1、2，在从e（f）引投影连线，在所s1、s2上分别交得e、f。【方法三】过点E、F作棱面上的任意直
6、线（图33d）：过e（f）作正面投影重合的直线，图中所作的直线通过b、c且与sa交于g，由g在sa上作出g，连g和b、c，再从e（f）引投影连线，在gb、gc上分别交得e、f，即为所求。二、平面与平面立体相交平面与立体的交线称为截交线, 截切立体的平面我们称为截平面，截交线围成的图形称为截断面。平面立体的截交线是截平面和平面立体表面的共有线，是由直线组成的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线，多边形的顶点是截平面与平面立体相关棱线（包括底边）的交点。截交线有两种求法：一是依次求出平面立体各棱面与截平面的交线；二是求出平面立体各棱线与截平面的交点，然后依次连接起来。当几个截平面与平
7、面立体相交而形成的具有缺口的平面立体和穿孔的平面立体时，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截交线，再绘制截平面之间的交线，就可作出这些平面立体的投影图。【例题一】已知正垂面P和三棱锥相交，求作截交线的投影及截断面实形（图3-4）。（一）分析截平面P与三棱锥的三个侧棱面相交，截交线为三角形，其三个顶点是截平面P与三条棱线的交点。因为截平面是正垂面，所以截交线的正面投影积聚在Pv上，其水平投影和侧面投影为空间截交线的类似形。（二）作图（1）在正面投影上依次标出Pv与sa、sb、sc的交点d、e、f，d、e、f即为平面P与棱线的交点D、E、F的正面投影（2）根据在直线上取点的方法由正面投影d、e、f
8、求得相应的水平投影d、e、f，和侧面投影d、 e、f。（3）连接这些点的同面投影,并判别可见性,即为截交线的投影。（4）用换面法作出截断面实形。（a） （b）图3-4三棱锥的截交线及截断面实形【例题二】已知正三棱锥被一正垂面和一水平面截切，试完成其截切后的水平投影和侧面投影（图35）图3-5 三棱锥被正垂面和水平面截切 （一）分析（图36b）三棱锥被水平面Q截切，正面投影和水平投影具有积聚性,设想将Q扩大，使其与三棱锥全部侧表面完整相交，则到I II III，其三边分别与AB、BC和AC平行。由于正垂面P的存在使此截断面实际不完全，为四边形I II IV VII。正垂面P截切三棱锥与三棱锥交于
9、IV V VI VII，其中V VI分别位于棱线SA和SB上，IV VII已求出，IV VII的连线也是水平面Q与正垂面P的交线。（二）作图（图36a）（1）作出完整三棱锥的侧面投影，注意平面SAB为侧垂面。（2）作平面Q与三棱锥的截交线I II IV VII：先作平面Q与三棱锥的完整截交线，得123和1、2和3，注意其中12/ac、23/bc、14/ab，然后根据4、7分别在13和23上取得4和7点并由此求出4和7。（3）作平面P与三棱锥的截交线IV V VI VII：由正面投影的5和6很容易得到侧面投影上的5和6，并求出水平投影5和6。将IV V VI VII的侧面投影和水平投影依次连线。
10、（4）作出平面Q和平面P的交线IV VII，注意其水平投影47不可见。（5）检查、描深。棱线SA 和SC是中断的，因此在水平投影上1与5之间和2与6之间不应有线，在侧面投影上2和6之间不应有线，1和5之间的线为平面SAB有积聚性的投影。（a） （b）图3-6 三棱锥被正垂面和水平面截切的作图【例题三】已知六棱柱被两平面P、Q所截切，求截交后交线的各投影（图3-7）。（一）分析 由于截平面P是正垂面，Q是侧平面，它们的正面投影都有积聚性，故截交线也分别积聚成直线而形成切口。要求截交线的H、W面的投影，只需分别求出P、Q与六棱柱的交线即可。(a) (b) 图 3-7 平面与六棱柱截交（二）作图（图
11、37b）（1）在正面投影上依次标出平面P与六棱柱的各棱面的交线45、56、67、78、89、93；由于六棱柱各棱面的水平投影都有积聚性，故P与六棱柱的截交线也积聚在棱面的水平投影上，可求出其水平投影45、56、67、78、89、93。根据正面投影和水平投影，可求出截交线的侧面投影45、56、67、78、89、93。 （2）在正面投影上依次标出Q与六棱柱表面的交线12、23、41，其中12是Q与六棱柱顶面的交线；因Q为侧平面，其水平投影具有积聚性，所以Q与六棱柱的截交线积聚在Q的水平投影QH上，可求出其水平投影12、23、41；根据正面投影和水平投影，可求出交线的侧面投影12、23、41。（3）
12、作出平面Q和平面P的交线III IV。（4）检查、描深。其中V、 VI 、VII、 VIII 和IX点所在棱线，在P面以上的部分被截切，注意在侧面投影上棱线的这些部分不应再画出。3.2 曲面立体曲面立体由曲面或曲面和平面所围成。曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线。某些曲面可以看作由一条线按一定的规律运动所形成，这条运动的线称为母线，而曲面上任意位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，形成回转面。母线上的各点绕轴线旋转时，形成回转面上垂直于轴线的纬圆。一、常用的回转体的投影及其表面上的点工程上常见的回转体有圆柱体、圆
13、锥体、圆球和圆环等，它们的特点是有光滑、连续的回转面。（a） （b）图3-8 圆柱体的投影1 圆柱体（1） 圆柱体的投影圆柱体是由圆柱面、顶面和底面围成。圆柱面由直线绕与它平行的轴线旋转而成。图3-8所示，当轴线为铅垂线，圆柱面的水平投影积聚成一个圆，圆柱的顶面和底面是水平面反映实形，就是这个圆。用点划线画出对称中心线，对称中心线的交点是轴线的水平投影。在正面和侧面投影中，轴线的投影用点划线画出，顶面和底面分别积聚为直线段，其长度等于直径，而圆柱面的投影范围由各投影面的转向轮廓线限定。最左、最右两条线AA1和BB1的正面投影aa1和bb1是正面投影的转向轮廓线。最前、最后两素线CC1和DD1的
14、侧面投影cc1和dd1是侧面投影的转向轮廓线。转向轮廓线既是圆柱面的投影外形轮廓线，又是圆柱面投影可见与不可见的分界线。正面投影以aa1和bb1为界，前半圆柱面为可见，后半圆柱面为不可见。侧面投影以cc1和dd1为界，左半圆柱面为可见，右半圆柱面为不可见。画圆柱投影时，一般先画出轴线和底圆中心线，然后画出上、下底圆的投影和圆柱面投影的转向轮廓线。图39 在圆柱表面上取点（2）圆柱体表面上的点如图3-9 所示，已知圆柱表面上点A、B、C、D的正面投影，求作它们的水平及侧面投影。从投影图中可以看出，该圆柱的轴线为铅垂线，圆柱面的水平投影积聚为一个圆，点A、B、C、D的水平投影必定在该圆的圆周上。作图过程如下：1） 由于 a可见，故点A应在前半个圆柱面上；b不可见，点B必在后半个圆柱面上；由此确定出a和b 。2） 由a和a确定a;并由b和b确定b，又由于B点在右半个柱面上故b不可见。3）点C在
