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1、蚊香的几何特征及香条长度的测量【摘要】 对盘式蚊香香条边线的几何特征进行了解分析，发现除中央部位极短的一段外，其余部分的香条线符合以香条宽度与之商为参数的阿基米德螺线方程。根据该螺线的数学规律，建立了一种简便准确的盘式蚊香香条长度的侧量方法。盘式蚊香(以下简称蚊香)是东方人百年前的发明创造，其盘旋典折的形状，似乎也蕴含了东方文化的玄奥。但作为一个几何图形，构成蚊香的线条遵循什么样的数学规律?在蚊香的设计研究过程中，经常需要知道香条长度这一重要的物理特性，而目前该物理量只能通过繁琐的手工测量获得。在研究蚊香的数学规律之后，能否建立较为简便的测量方法?本文对上述问题进行了探讨，并提出了解决方案。1
2、、盘香几何的解析1.1盘香的几何特征将一盘蚊香光滑面朝上，放置一水平面上，自上俯视，会观察到典型的、如图 1所示的蚊香平面图。图1由3根连续线条构成。中央部位2根短粗的直线表示安插蚊香架的糟隙，另外1根细长曲线表示组成蚊香的2根香条之间的边线。由于前面2根短粗直线所代表的槽隙对蚊香的诸多特性均没有值得计较的影响，所以这条细长曲线便成了蚊香几何的唯一研究对象。将这条曲线单独绘制出来，并加上一定的标志，得到了图2所示的蚊香香条曲线图。图2中，点。为直线AB与曲线AB若干交点中位于最中间的一个交点。观察图2,首先会发现曲线AB是一个关于点 O呈中心对称的图形，这样，只要知道曲线OA和曲线OB中任何一
3、条的数学描述，就可以容易地得到整个曲线 AB的数学描述。为此，将其中的1条曲线OA单独绘制出来，如图3所示，进行研究。图3中的曲线OA实际上是单盘蚊香的香条外侧边线。观察不同厂牌蚊香的实物，会发现其对应的OA曲线上，接近点O的一段(图中以OP表示)也就是所谓“太极头”部位的曲线，在形状上各有不同，但对于剩下的一大段曲线PA ，则具有这样的特征:曲线PA上任取一点Q，假使点Q可在曲线PA上移动，则点Q越接近点A，点Q与点O的直线距离(以r表示)越大;而且，每移动一定角度(以 0表示)，r增加的值与该角度成正比。1.2 蚊香香条的曲线方程用数学语言描述曲线QA的上述特征，可表示为r =k0，或 r
4、=k0十c (1 )式(1)中，k和 c均为恒定常数，若以点 0为极点，建立极坐标，则选择适当方位的极轴，可以将式(1)转移为: r=k0, 0eo,a (2 )式(2)中a为点A，即香条末端对应的极角。式(2)所描述的曲线一单盘蚊香香条外侧边线 实际上正是公元前三世纪阿基米德在其论螺线一书中述及的、后人所谓的“阿基米德螺线”。由于蚊香香条边线是一中心对称图形，所以，根据式(2)，可以得出蚊香中另一单盘香条边线的曲线方程为: r=k(+0), 0e-，a- (3 )需要说明的是，式(2)和式(3)所描述的只是蚊香“太极头”之外的香条曲线方程，由于不同厂牌蚁香的“太极头”没有统一固定的形状，所以
5、无法对其作出确切的描述。同时，由于“太极头”一段香条的长度极短，因而其形状对蚊香香条长度的影响事实上也可以忽略不计。图4绘出了严格由式(2)、式(3)所述2条曲线构成的图形，观察后会发现，只是在其中央极小的区域内与图1的示的蚊香实样有所不同。1.3 参数 k的确定图2中直线AB与曲线AB交于若干点，每相邻两点间的距离即为通常所谓的香条宽度”。进一步观察发现，这相邻两点实际上分别是曲线OA和曲线O上极角(A)相同的两个点。如果用w表示香条宽度，则根据式(2)或式(3)，可得式(4). (4 ) 这样，在测量出蚊香的香条宽度之后，即可完全确定其数学方程。2 香条长度的测量2.1测量方法及计算公式首
6、先确定香条曲线方程中极角(0)的取值范围。如果忽略蚊香“太极头”部位香条形状与阿基米德螺线的差异，也就是说，将蚊香香条的外侧边线 OA和OB(如图2所示)近似地看作式(2)、式 (3)所描述、极角(B)分别在0,a、 ,a,- 区间内取值的阿基迷德螺线，若以S表示图(2)中直线AB一通常所谓“蚊香盘径”的长度，则有式(5), s=2aa (5)亦 即: (6)而香条长度L可表示为任何一条螺线弧长在极角(0)取值区间内的积分，即: (7)将式(4),(5)代人式(7)，则得: (8)通过式(8)，只要测量出香条宽度(W),蚊香盘径(s)即可得到蚊香的香条长度。2.2 测量方法的误差本测量方法的误
7、差有2处来源。其一是对蚊香“太极头”部位香条形状作近似处理带来的系统误差;其二是测量 S,w时带来的随机误差。以下对这2个不同来源的误差作逐项分析，然后推断整个测量方法的误差。2.2.1近似处理带来的误差 对照蚊香实样(图1所示)和严格的阿基米德螺线(如图4所示)发现，由于“太极头”的存在，使得蚊香香条比严格的阿基米德螺线要略短:同时，对曲线OA而言.“太极头”区域曲线的极角总是分布于下限为 0、上限不大于的一段区间内。这样，对形状近似处理带来的误差总小于这一段螺线的长度L1，而由式(7)和式(4)可知，L1的大小为二w/2，根据式(8)可得: (9)通常，双盘蚊香的圈数总大于12，也就是说S
8、是w的12倍以上，由式(9)知，形状近似处理给香条线长带来的测量系统误差的相对值总小于3%.2.2.2 尺寸测量带来的误差对式(8)取对数后再作微分可得: (10)由于可以通过测量多圈蚊香宽度后求平均得到香条宽度w，这样对于盘径大于100 mm的蚊香、用最小分度值为1mm(相应的最大读数误差为0.5mm的直尺测量S和w)。根据式(10)可知，尺寸测量给香条长度带来的测量随机误差相对值将在3%范围内。综合上述两方面，考虑到形状近似处理带来的总是正偏差，本文所述的蚊香香条长度测量方法的相对误差将在-3%6%范围内。应用本文方法要特别注意的是，不可通过将香条开在小段，再用游标卡尺或直尺丈量获得香条宽度w，由于蚊香正面香条之间存在的模具冲切形成的空隙，这种做法将会使最终结果的测量误差(正偏差)高达10%以上。正确的方法是，在蚊香背面，作出图2中所示AB直线，然后测量57个香条宽度之和的尺寸，再通过算术平均值，获得 w值。
