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1、应用题-经典应用题-鸡兔同笼问题基本知识-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率鸡兔同笼问题基本知识C1.了解鸡兔同笼的基本概念。2.会利用假设法解决简单的鸡兔同笼问题及其变形题。3.会利用分组法解决鸡兔同笼问题。少考知识提要鸡兔同笼问题基本知识 鸡兔同笼的由来大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚问笼中各有几只鸡和兔？ 假设法解鸡兔同笼（1）假设全是兔子 鸡数=(每只兔子脚数鸡兔总数实际脚数)(每只兔子脚数每
2、只鸡的脚数) 鸡数=鸡兔总数鸡数 （2）假设全是鸡 兔数=(实际脚数每只鸡脚数鸡兔总数)(每只兔子脚数每只鸡的脚数) 鸡数=鸡兔总数兔数 分组法解鸡兔同笼腿数相同，2鸡1兔为一组；头数相同，1鸡1兔为一组。精选例题鸡兔同笼问题基本知识 1. 甲乙二人相距 30 米面对面站好两人玩“石头、剪子、布”胜者向前走 3 米，负者向后退 2 米平局两人各向前走 1 米玩了 15 局后，甲距出发点 17 米，乙距出发点 2 米甲胜了 次【答案】7【分析】有胜有负的局，两人距离缩短 1 米；平局两人距离缩短 2 米15 局后两人之间的距离缩短 1530 米（1）如果两人最后的效果都是后退，两人之间的距离会变
3、大，与上述结论矛盾（2）如果两人最后的效果是“一人前进，另一人后退”，如果乙前进，甲后退，两人距离增大，这与（1）矛盾则一定是甲前进，乙后退，两人距离会缩短 15 米但如果两人距离缩短 15 米，只能是 15 局都是“胜负局”假设甲 15 局都是胜者，他会前进 45 米，每把一次“胜者”换成一次“负者”，他会少前进 5 米45 减去多少个 5 都不可能等于 17，这种情况不成立（3）如果两人最后的效果是都向前进，两人的距离缩短 19 米假设 15 局都是“胜负局”，两人之间距离缩短 15 米，每把一局“胜负局”换成平局，两人之间距离多缩短 1 米由“鸡兔同笼”法求出，“胜负局”共 11 局，平
4、局 4 局 4 局平局中甲前进了 4 米假设甲其余 11 局都是胜者，他一共前进 33+4=37（米）每把一局胜局改为败局，他会退 5 米，要想前进 17 米，则改 (3717)5=4（局）验算：甲 7 胜 4 平 4 败，前进 21+48=17（米）；乙 4 胜 7 败 4 平，前进 12+414=2（米） 2. 一张试卷共有 21 道题，答对一道得 8 分，答错一道扣 6 分小明答完了所有的题目，却得了零分，他答对 道题【答案】9【分析】若全部答对，则小明应得 218=168（分）在这 168 分中，小明若用 1 道答对题目换 1 道答错题目，则损失了 8分(应得的)+6分(扣掉的)=14
5、 分，而此时小明得了 0 分，说明小明的 168 分全部损失掉了，即错了 16814=12（道），则答对的题数为 2112=9（道） 3. 某班学生在运动会上，进入前三名的有 10 人次，已知获第一名可得 9 分，获第二名可得 5 分，获第三名可得 2 分，其他名次不记分，该班共计得 64 分，其中获第一名的至多有 人次【答案】5【分析】假设获得第一名的有 10 人次，那么共计应该得 109=90（分），而实际上得了 64 分相差了 9064=26（分）每把一个第一名变成第二名会少得 4 分，每把一个第一名变成第三名会少得 7 分要求获得第一名的要尽可能多，那么把第一名变成第三名的就要尽可能多
6、，26=72+43，所以第二名有 3 人次，第三名有 2 人次，第一名有 5 人次 4. 张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得 20 分，脱靶一发扣 12 分，两人各射了 10 发，共得 208 分，其中张明比李华多 64 分，则张明射中 发【答案】8【分析】张明得分 (208+64)2=136（分），假设张明 10 发全中，应得 2010=200（分），多了 200136=64（分），因此张明脱靶 64(20+12)=2（发），射中 8 发 5. 一次英语考试只有 20 道题，做对一题加 5 分，做错一题倒扣 3 分（不做算错）皮皮这次没考及格，不过他发现，只要他少错一题就能刚好及格
7、他做对了 道题【答案】14【分析】根据题意可知皮皮这次得了 6053=52(分)，假设皮皮 20 道题全做对，应得 205=100(分)，少了 10052=48(分)，因此皮皮错了 48(5+3)=6(道)，做对了 206=14(道) 6. 一个奥特曼与一群小怪兽战斗已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个头、五条腿在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一只小怪兽分成了两只，分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上一共有 21 个头，73 条腿，那么这时共有 只小怪兽【答案】13【分析】可知小怪兽共有 20 个头和 71 条腿1 个头、6 条腿的小怪兽肯定为偶数
8、，把它们两个一对捆在一起，则每组有 2 个头和 12 条腿用假设法易得 2 个头、12 条腿的小怪兽有 (71105)(125)=3(组)，2 个头 5 条腿的小怪兽有 103=7(只)，共 23+7=13(只) 7. 有一场球赛，售出 50 元、80 元、100 元的门票共 800 张，收入 56000 元其中 80 元的门票和 100 元的门票售出的张数相同请回答：售出 50 元的门票 张；售出 80 元的门票 张；售出 100 元的门票 张【答案】400；200；200【分析】假设这 800 张门票都是 50 元，应得收入 80050=40000(元)，少了 5600040000=160
9、00(元)，因此 80、100 元门票各有 16000(80+1005050)=200(张)，50 元门票 800200200=400(张) 8. 40 只脚的蜈蚣与 9 个头的龙在同一个笼子中，共有 50 个头和 220 只脚，如果每只蜈蚣有 1 个头，那么每条龙有 只脚【答案】4【分析】蜈蚣有 40 只脚，总脚数为 220，所以蜈蚣的头数不大于 5；总头数为 50，且龙的头数是 9 的倍数，所以蜈蚣只能有 5 只，龙有 5 条则每条龙有 (220405)5=4(只) 脚 9. 张阿姨给幼儿园两个班的孩子分水果，大班每人分得 5 个橘子和 2 个苹果，小班每人分得 3 个橘子和 2 个苹果张
10、阿姨一共分出了 135 个橘子和 70 个苹果，那么小班有 个孩子【答案】20【分析】两班共有 702=35(人)，假设每个孩子都分到 5 个橘子和 2 个苹果，则可以得到小班的人数为 (355135)(53)=20(人)10. 王伯伯养了一些鸡、兔和鹤其中鹤白天双足站立，夜间则单足站立；鸡晚上睡觉时则把头藏起来细心的悦悦发现：不论白天还是晚上，足数和头数的差都一样，那么，如果白天悦悦可以数出 56 条腿，晚 上会数出 个头【答案】14【分析】白天比晚上多了一个鸡头，还多了一只鹤脚；由不论晚上还是白天，足数和头数的差都一样，所以，鹤的数量和鸡的数量是一样的将鸡和鹤打一个包，则在白天这个包和兔子
11、腿数一样为 4，在晚上这个包和兔子头数一样为 1；则可以得出晚上的头数为 564=14(个)11. 一些奇异的动物在草坪上聚会有独脚兽（1 个头、1 只脚）、双头龙（2 个头、4 只脚）、三脚猫（1 个头、3 只脚）和四脚蛇（1 个头、4 只脚）如果草坪上的动物共有 58 个头、160 只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的 2 倍，那么其中独脚兽有 只【答案】7【分析】2 只四脚蛇和 1 只双头龙共有 4 个头和 12 只脚，相当于 4 只三脚猫按照鸡兔同笼问题的解法有 (583160)(31)=7（只）所以共有 7 只独脚兽12. 围棋 24 元一副，象棋 18 元一副，用 300 元恰好可以
12、购买两种棋共 14 副，其中象棋有 副【答案】6【分析】假设全是围棋2414=336(元),则象棋有(336300)(2418)=6(副).13. 小兔与蜘蛛共 50 名学员参加踢踏舞训练营，一段时间后，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔 只（注：蜘蛛有 8 只脚）【答案】40【分析】一只蜘蛛的脚数是一只小兔脚数的 2 倍，而原来所有小兔一半的脚数等于原来所有蜘蛛 1 倍的脚数，所以原来小兔只数是原来蜘蛛只数的 4 倍，所以原有小兔 50(4+1)4=40 只14. 甲乙二人相距 30 米面对面站好两人玩“石头剪刀布”胜者向前走 8 米，
13、负者向后退 5 米平局两人各向前走 1 米玩了 10 局后，两人相距 7 米那么两人平了 局【答案】7【分析】因为每赛完一局，胜者向前走 8 米，负者向后退 5 米而平局两人各向前走 1 米相当于，如果分出胜负两人的距离减少 3 米，平局两人的距离减少 2 米玩了 10 局后，两人的距离减少了 307=23(米)所以利用假设法可以求得两人平了 (31023)(32)=7(局)15. 迷宫里的灯有两种：一种是上吊 3 个大灯，下缀 6 个小灯的九星连环灯；一种是上吊 3 个大灯，下缀 15 个小灯的十八星连环灯已知大灯有 408 个，小灯有 1437 个，那么，九星连环灯有 个，十八星连环灯有 个【答案】67；69【分析】根据题意两种类型的灯共有 4083=136（盏），假设这 136 盏都是上吊 3 个大灯，下缀 6 个小灯的九星连环灯，共有小灯 1366=816（个），少了 1437816=621（个）因此十八星连环灯有 621(156)=69（个），九星连环灯有 13669=67（个）16. 甲种农药每千克兑水 20 千克，乙种农药每千克兑水 40 千克，现为了提高药效，根据农科所意见，甲乙两种农药混合使用，已知两种农药共 5 千克，要兑水 140
