´ ¸¸ ´ ´ ¸ ´ 四年级奥数 7一、知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后 一项称为末项数列中共有的项的个数叫做项数2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做 等差数列，其中相邻两项的差叫做公差3、常用公式等差数列的总和=【首项+末项】 项数 2项数=【末项-首项】 公差+1末项=首项+公差 【项数-1】首项=末项-公差 【项数-1】公差=【末项-首项】 【项数-1】等差数列【奇数个数】的总和=中间项 项数二、典例剖析：例【1】 在数列 3、6、9……，201 中，共有多少数？如果继续写下去，第 201 个数是多少？分析： 【1】因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=【末项-首项】 ¸公差+1,便可求出2】根据公式：末项=首项+公差 ´【项数-1】解： 项数=【201-3】 ¸3+1=67末项=3+3 ´【201-1】=603答：共有 67 个数，第 201 个数是 603练一练：在等差数列中 4、10、16、22、……中，第 48 项是多少？508 是这个数列的第几项？答案: 第 48 项是 286，508 是第 85 项例【2 】全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从 100~999 共 900 个数，观察 100、101、102、……、998、999 这 一数 列，发现这是一个公差为 1 的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答解： 【100+999】 ´900 ¸2=1099 ´900 ¸2=494550答：全部三位数的和是 494550练一练：求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差答案: 1000例【3】求自然数中被 10 除余 1 的所有两位数的和分析一：在两位数中，被 10 除余 1 最小的是 11，最大的是 91从题意可知，本题是求等差数列 11、 21、31、……、91 的和它的项数是 9，我们可以根据求和公式来计算解一： 11+21+31+……+91=【11+91】´9 ¸2=4591 / 6分析二：根据求和公式得出等差数列 11、21、31、……91 的和是 459，我们可以求得这 9 个数的平均 数是 459 ¸9=51，而 51 恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项【称作中项】，由此我们又可得 到 S=中项 ´n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算解二：11+21+31+……+91=51 ´9=459答：和是 459练一练：求不超过 500 的所有被 11 整除的自然数的和答案: 11385例【4】 求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。
分析一：这个方阵的每一横行【或竖行】都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行【或竖行】 数列之和，再求出这个方阵的和解一：每一横行数列之和：第一行：【1+50】 ´ 50 ¸2=1275第二行：【2+51】 ´ 50 ¸2=1325……第四十九行：【49+98】 ´ 50 ¸2=3675第五十行：【50+99】 ´ 50 ¸2=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=【1275+3725】 ´ 50 ¸2=125000分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多 50，所以可以先将第一行的和 乘以 50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和解二：【1+50】 ´ 50 ¸2 ´ 50=6375050 ´ 【1+2+3+……+49】=50 ´ 【【1+49】 ´ 49 ¸2】=6125063750+61250=125000答：这个方阵的和是 125000练一练：求下列方阵中 100 个数的和0、1、2、3、……8、9；1、2、3、4、……9、10；2、3、4、5、……10、11；……9、10、11、12、……17、18。
答案: 900例【5】班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次若一共扳了 105 次，那 么共有多少男生参加了这项比赛?分析：设共有几个选手参加比赛，分别是 A1、A2、A3 A4、……An 从 A1 开始按顺序分析比赛场次： A1 必须和 A2、A3、A4、……，An 逐一比赛 1 场，共计【n-1】场；2 / 6´ ´ ´ A2 已和 A1 赛过，他只需要和 A 3、A4 、A5 、……、An 各赛 1 场，共计【n-2】场A 3 已和 A1 A2 赛过、他只需要和 A4、 A5、 A6、……、An 、各赛 1 场，共计【n-3】场以此类推，最后 An-1 只能和 An 赛 1 场解： Sn=【n-1】+【n-2】+……+2+1=【1+n-1】×【n-1】÷2=0.5×n 【n-1】【场】根据题意，Sn=105【场】，则 n×【n-1】=210，因为 n 是正整数，通过试算法，可知 15×14=210.则 n=15,即共有 15 个男生参加了比赛答：有 15 个男生参加了比赛练一练：从 1 到 50 这 50 个连续自然数中，取两数相加，使其和大于 50，有多少种不同的取法？答案： 625 种例【6】若干人围成 16 圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少 6 人，如果共有 912 人，问最外圈有 多少人？最内圈有多少人？分析：从已知条件 912 人围成 16 圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少 6 人，也就是告诉我们这 个等差数列的和是 912，项数是 16，公差是 6。
题目要求的是等差数列末项 an- a1=d 【n-1】=6【16-1】=90【人】解： an+a1=S×2 ¸n=912 ´2 ¸16=114【人】外圈人数=【90+114】÷2=102【人】内圈人数=【114-90】÷2=12【人】答： 最外圈有 102 人，最内圈有 12 人练一练：若干人围成 8 圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少 4 人，如果共有 304 人，最外圈有 几人？答案： 52 人模拟测试【 4 】一、填空题 【每小题 5 分】1、有一串数，已知第一个数是 6，而后面的每一个数都比它前面的数大 4，这串数中第 2003 个数是 2、等差数列 0、3、6、9、12、……、45 是这个数列的第 项3、从 2 开始的连续 100 个偶数的和是 4、一个剧院共有 25 排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多 2 个座位，第 25 排有 70 个座位，这个 剧院共有 个座位5、所有除以 4 余 1 的三位数的和是 6、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲 下7、一个五层书架共放了 600 本书，已知下面一层都比上面一层多 10 本书最上面一层放本书，最下面一层放 本书。
8、从 200 到 500 之间能被 7 整除的各数之和是 9、在 1949、1950、1951、……1987、1988、这 40 个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多 10、有一列数：1、2002、2001、1、2000、1999、1、……、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数 中大数减去小数的差，从第一个数开始到第 2002 个数为止这 2002 个数的和是 二、简答题 【每小题 10 分】1、有 10 只盒子，54 个乒乓球，能不能把 54 个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从 1 号开始摸着排下去小明将全胡同的门牌号数进行口算3 / 6求和，结果误把 1 看成 10，得到错误的结果为 114，那么实际上全胡同有多少家？3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有 7 根园木，每面下层增加 1 根，最下面一 层有 95 根，问：这堆圆木一共有多少根？4、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有 三个点……这个六边形点阵共 100 层，问，这个点阵共有多少个点？5、X+Y+Z=1993 有多少组正整数解？模拟测试【 4 】 解答一、填空题1、80146+4×【2003-1】=6+4×2002=80142、16【45-0】÷3+1=45÷3+1=163、10100末项=2+【100+1】×2=200和=【2+200】×100÷2=101004. 1150a1=70-【25-1】 ×2=22【个】总座位数：【22+70】×25÷2=1150【个】5、123525所有除以 4 余 1 的三位数为：101、105、109、……997。
项数：【997-101】÷4+1=225和：【101+997】×225÷2=1235256、180【1+12】×12+1×24=13×12+24=180【下】7、100、140中间一层本数：600÷5=120【本】最上面一层：12-10×2=100【本】最下面一层：120+1×2=140【本】8、15050构成等差数列为：203、210、……、497项数=【497-203】÷7+1=434 / 6\ î î\ î î\ î î 数列和=【203+497】×43 ¸2=150509、20【1950+1988】×20÷2-【1949+1987】×20÷2=3938×20÷2－3936×20÷2=39380-39360=2010、1782225在原数列中，以数 1 为标志，把三个数看成一组，2002÷3=667……1，其中 2001 个数分为 667 组，有 667 个 1，因为余下的一个数恰为 1，则 2002 个数中有 668 个 1，其余的数是 2002 则 669 有 1334 个数668×1+【2002+669】×1334÷2=668+1781557=1782225二、简答题1、解： 答：题中要求办不到。
2、解：误把 1 看成 10，错误结果比正确结果多 10-1=9，那么正确结果为 114-9=105，即全胡同门牌号组 成的数列求和为 105设全胡同有 n 家，此数列为 1、2、3……、n数列求和：【1+n】×n÷2=105【1+n】×n=210将 210 分解：210=2×3×5×7=14×15则 n 为 14答：全胡同实际有 14 家3、解： 7+95=102【根】95-7+1=89【层】102×89÷2=4539【根】答：这堆圆木一共有 4539 根4、解：第 100 层有点：6+【99-1】×6=6+98×6=6×99=594【个】点阵只有点： 1+【6+594】 ´99÷2=1+600×99÷2=29701【个】。