历届IMO试题(1-46届完好中文版)第1届IMO1. 求证 (21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n 都是最简分数2. 设√ (x+ √(2x - 1))+ √(x - √(2x -1))=A ，试在以下 3 种状况下分别求出 x 的实数解：(a) A= √2； (b)A=1 ； (c)A=2 3. a、 b、 c 都是实数，已知 cos x 的二次方程a cos 2x + b cos x + c = 0,试用 a,b,c 作出一个对于 cos 2x 的二次方程， 使它的根与本来的方程相同 当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式4. 试作向来角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何均匀值5. 段 AB 上随意选用一点 M，在 AB的同一侧分别以 AM、MB为底作正方形 AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、 Q，设这两个外接圆又交于 M、 N，(a.) 求证 AF 、BC订交于 N点；（ b.) 求证 无论点 M怎样选用 直线 MN 都经过必定点 S ；(c.) 当 M在 A 与 B 之间改动时，求线断 PQ 的中点的轨迹。
6. 两个平面 P、Q交于一线 p，A 为 p 上给定一点， C为 Q上给定一点，并且这两点都不在直线 p 上试作一等腰梯形 ABCD（AB 平行于 CD），使得它有一个内切圆，并且极点 B、D 分别落在平面 P 和 Q上 / 第2届IMO1. 找出所有拥有以下性质的三位数N：N能被 11 整除且 N/11 等于 N的各位数字的平方和2. 找寻使下式建立的实数 x：4x 2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93. 直角三角形 ABC的斜边 BC的长为 a，将它分红 n 等份（n 为奇数），令 为从 A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从 A 到 BC边的高长为 h，求证：tan = 4nh/(an 2 - a).4. 已知从 A、 B 引出的高线长度以及从 A 引出的中线长，求作三角形 ABC5. 正方体 ABCDA'B'C'D' （上底面 ABCD，下底面 A'B'C'D' ）X 是对角线 AC上随意一点， Y是 B'D' 上随意一点a. 求 XY中点的轨迹；b. 求 (a) 中轨迹上的、并且还知足 ZY=2XZ 的点 Z 的轨迹。
6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上令V1 为圆锥的体积， V2 为圆柱的体积a). 求证： V1 不等于 V 2 ；(b). 求 V1/V 2 的最小值；并在此状况下作出圆锥顶角的一般7. 等腰梯形 ABCD，AB平行于 DC，BC=AD令 AB=a,CD=c，梯形的高为 h X 点在对称轴上并使得 角 BXC、AXD都是直角试作出所有这样的 X 点并计算 X 到两底的距离；再议论在什么样的条件下这样的 X 点的确存在第3届IMO1. 设 a、 b 是常数，解方程组x + y + z = a; x 2 + y 2 + z 2 = b 2; xy=z 2并求出若使 x、 y、z 是互不相同的正数， a、 b 应知足什么条件2. 设 a、 b、 c 是某三角形的边， A 是其面积，求证：a2 + b 2 + c 2 >= 4 √3 A.并求出等号何时建立3. 解方程 cos nx - sin nx = 1, 此中 n 是一个自然数4. P 是三角形 ABC内部一点，PA交 BC于 D，PB交 AC于 E，PC交 AB于 F，求证 AP/PD, BP/PE, CP/PF 中起码有一个不大于 2，也起码有一个不小于 2。
5. 作三角形 ABC使得 AC=b, AB=c ，锐角 AMB = , 此中 M是线断 BC的中点求证这个三角形存在的充要条件是b tan( /2) <= c < b.又问上式何时等号建立6. 三个不共线的点 A、B、C，平面 p 不平行于 ABC，并且 A、B、C在 p 的同一侧在 p 上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O 是三角形A''B''C''的重心问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么第4届IMO1. 找出拥有以下各性质的最小正整数n ：它的最后一位数字是 6，假如把最后的 6 去掉并放在最前面所获得的数是本来数的 4 被2. 试找出知足以下不等式的所有实数x ：√ (3-x)- √(x+1) > 1/2.3. 正方体 ABCDA'B'C'D' （ ABCD、A'B'C'D' 分别是上下底） 一点 x 沿着正方形 ABCD的界限以方向 ABCDA作匀速运动；一点 Y 以相同的速度沿着正方形 B'C'CB 的界限以方向 B'C'CBB'运动点 X、Y 在同一时辰分别从点 A、 B' 开始运动。
求线断 XY的中点的轨迹4. 解方程 cos 2x + cos 22x + cos 23x = 1 5. 在圆 K 上有三个不同的点 A、 B、C试在 K 上再作出一点 D 使得这四点所形成的四边形有一个内切圆6. 一个等腰三角形， 设 R为其外接圆半径， 内切圆半径为 r ，求证这两个圆的圆心的距离是√ (R(R -2r)) 7. 求证：正四周体有 5 个不同的球，每个球都与这六条边或其延伸线相切；反过来，假如一个四周体有 5 个这样的球，则它必定是正四周体第5届IMO1. 找出以下方程的所有实数根（此中p 是实参数）：√ (x 2- p)+2√(x 2-1) = x.2. 给定一点 A 及线断 BC，设空间中一点 P 使得存段 BC上有一点 X 知足 角 APX是直角，试求出所有这样的点 P 的轨迹3. 在一个 n 边形中，所有内角都相等，边长挨次是a >= a2>= ... >= an，1求证：所有边长都相等4.设 y 是一个参数，试找出方程组x i + xi+2 = y x i+1 (i = 1, ... , 5) 的所有解 x 1, ... ,x 。
55.求证cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.6. 五个同学 A、B、C、D、 E参加比赛，一种猜想说比赛结果的名次依旧是ABCDE但是实际上没有一位同学的名次被料中，并且展望中名次相邻的同学也没有真的相邻（比如， C、 D两位同学名次不是 (1,2) 、 (2,3) 、 (3,4) 、(4,5) 中的任何一种） 还有一种猜想说结果会是DAECB的次序其实是恰巧有两个同学所得的名次与展望的相同； 并且有两对同学 （4 个不同的同学）的名次像展望中的相同是相连试议论最后的名次怎样第6届IMO1. (a) 求所有正整数 n 使得 2 n - 1 能被 7 整除；(b) 求证不存在正整数 n 使得 2 n + 1 能被 7 整除2. 假定 a、 b、 c 是某三角形的三边长，求证：a2 (b + c - a) + b 2(c + a - b) + c 2(a + b - c) <= 3abc.3. 三角形 ABC的三边长为别为 a、b、c 分别平行于 ABC的各边作三角形 ABC内切圆的切线，每条切线都在 ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用 a,b,c 表示）。
4. 十七个人相互通讯， 每个人都和其余人写信 在他们的信上一共议论有三个不同的话题，每两个人只议论一个话题，求证：这些人中间起码有三个人他们所议论的话题是相同的5. 平面上有五个点，随意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其余四点两两连结的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目6. 四周体 ABCD的中心是 D0，分别过 A、B、C作 DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A 、 B 、 C ，求证： ABCD的体积是 A B CD的三分之一；再问假如D0为三角形 ABC0000000内的随意一点，结果能否仍旧建立第7届IMO1. 试找出所有位于区间 [0, 2pi] 的 x 使其知足2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 .2. 以下方程。