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1、初一数学竞赛系列讲座(11)应用题（三）一、 知识要点数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增强应用数学的意识，提高处理数学应用题的能力。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。二、 例题精讲例1 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元， C水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配
2、共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为 元。(2000年全国初中数学联合竞赛试题)解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套，依题意有、消去x得：31(y+z)=465，故y+z=15所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为1510=150评注：本题列出的是不定方程，要求出x、y、z是不可能的，但本题只要整体地求出y+z就行了。例2某班参加一次智力竞赛，共a、b、c 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。答对题a的人数与答对题b的人
3、数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。问这个班平均成绩是多少分？ (1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)解：设答对题a、答对题b、答对题c的人数分别为x、y、z，则有 所以答对一题的人数为：37-13-215=4 全班人数为：1+4+15=20 故全班平均成绩为 答：这个班平均成绩是42分评注：本题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距
4、离巡逻(然后再一起返回)，甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所必须的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)解：设巡逻车行到途中B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有 23(x+y)+2x=145，即5x+3y=35 又由题意，需x0，y0且145 (5+2)x143，即x4 从而问题的本质是在约束条件之下，求y的最大值， 显然y=5，这样，200(4+5)=1800(公里) 所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里例4 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支)装
5、一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。铅笔比彩笔便宜30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。(第一届汉城国际数学竞赛试题)分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是abcde元, 每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，从而列出方程组。解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是abcde元, 每
6、两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e. 其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。 所以 (1)-(2) 得：b-c=50 (5) (5)+(3) 得：b+e=340 (6) 在上面10个和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，难以断定，现在b+e=340， 所以 c+d=320 (7) (3)+(4)+(7)得 2 (c+d+e)=860 所以 c+d+e=430 从而可得：c=180，d=140，e=110 进一步可得：b=230，a=250 即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是250元
7、、230元、180元、140元、110元评注：本题未知数多，方程也多，必须仔细分析题意，理清它们的关系，才能正确求解。例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元，由题意，很容易得出二条方程，但二个方程三个未知数，无法求出x、y、z，实质上，此题的目标不是求x、y、z，而是求x+y+z，我们可以设法整体地求出x+y+z。解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元，由题意得： 设m (3x+7y+z) +n (4x+10y+z)=x+
8、y+z 则 (3m+4n) x+(7m+10n) y+(m+n)z= x+y+z 3m+4n=7m+10n= m+n=1，从而求得m=3，n= -2 x+y+z= 3 (3x+7y+z) -2 (4x+10y+z)=33.15-24.20=1.05 答：购甲、乙、丙各一件共需1.05元。评注：本题列出的是不定方程组，无法求出x、y、z，但本题的目标不是求x、y、z，而是求x+y+z，因此本题通过待定系数法求出x+y+z与3x+7y+z和4x+10y+z的关系，从而整体地求出x+y+z。这是整体思想的体现。例6 某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则在当天上午手表指
9、示时间为10点50分时，准确时间应该是多少？分析：设所求的准确时间为x小时，则小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分所慢的小时数，小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分时，实际走的准确的小时数，因为手表每走1小时要慢小时，所以小时慢了小时，则=解：设所求的准确时间为x小时，由题意得： = 解之得：答：准确时间应该是11点10分。例7 某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元。现从A地到B地共支出车费24元，如果从A先步行460米，然后乘车到B也是24元，求从AB的中点C到B地需支付多少车费。分析：解决这个问题的关键是要计算出CB的路程，由于
10、车费的计算方式是10.8+1.2n n是乘车路程大于5千米部分所含1千米的个数，不足1千米也要算1千米，从A地到B地共支出车费24元，代入可计算出n=11，于是5+110AB5+111 同样5+110AB-0.465+111，这样可求出AB的范围，从而求出以CB的范围。解：设从A地到B地的路程为x千米， 则5+110x5+111，且 5+110x-0.465+111， 即15x16，且15.46x16.46，15.46n0，则提价最多的方案是哪一种？解：设饮料原价格为1，则按甲提价方案提价后的价格是：(1+m%) (1+n%) 按乙提价方案提价后的价格是：(1+n%) (1+m%) 按丙提价方
11、案提价后的价格是：(1+)2 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因而只需比较(1+m%) (1+n%)与(1+)2的大小 (1+m%) (1+n%)=1+ m% +n%+ m%n%=1+(m+n)% + m%n% (1+)2=1+2+()2=1+(m+n)%+ ()2 所以只要比较m%n%与()2的大小即可 ()2- m%n%=-=0 ()2 m%n%，即(1+)2(1+m%) (1+n%) 因此，丙种方案提价最多。评注：本题应用了比差法来比较大小，比差法是比较大小的最常用方法。三、 巩固练习选择题1、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( ) (2000年全国初
12、中数学竞赛试题) A、甲比乙大5岁 B、甲比乙大10岁 C、乙比甲大10岁 D、乙比甲大5岁 2、一次考试共有5道试题，考后成绩统计如下：有81%的同学做对第一题，91%的同学做对第二题，85%的同学做对第三题，79%的同学做对第四题，74%的同学做对第五题。如果做对三道题以上(包括三道)的同学为考试合格，则这次考试的合格率至少为( )A、70% B、74% C、81% D、73%(第六届祖冲之杯数学邀请赛试题)3、甲、乙、丙、丁四个拿出同样多的钱，合伙订购同样规格的若干货物。货物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了3，7，14件货物，最后结算时，乙付给丁14元，那么丙应付给丁( ) (第七届祖冲
13、之杯数学邀请赛试题)A、28元 B、56元 C、70元 D、112元4、某旅馆底层客房比二层客房少5间，某旅游团有48人，若全部安排在底层，每间住4人，房间不够；而每间住5人，有的房间未住满。又若全部安排在二层，每间住3人，房间不够；而每间住4人，有的房间未住满。这家旅馆底层共有房间( )A、9个 B、10个 C、11个 D、12个5、如果某一年的5月份中，有5个星期五，它们的日期之和为80，那么这个月的4日是星期( )A、一 B、三 C、五 D、日6、有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，全部用来购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有( )A、1种 B、2种 C、3种 D、4种填
14、空题7、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的，那么全校女生占全校学生的 8、在一家三口中，每两个人的平均年龄加上余下的一人的年龄，分别得到49，62，63，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 9、某校初三学生在操场排队，站2排对齐恰剩1人，站3排对齐恰剩2人，站4排对齐恰剩3人，站5排对齐恰剩4人，站6排对齐恰剩5人，而站7排对齐恰无剩余，则该校初三学生最少有 人10、某县有500名学生参加第七届祖冲之杯数学邀请赛，平均得分63分。该县男生平均得分60分，女生平均得分70分，则该县参赛男生比女生多 人11、在计算一个正数乘以3
