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1、高三数学复习 数列（理科） 依纲靠本、关注地方特色北京八中 王春辉 2009、10主要内容：1、真正的重视基础； 2、谈谈新课标考卷的数列题； 3、北京题的特点。这部分的复习，重视基础是大家的共识，同时要关注北京卷的特点。当然，对程度好一点的学生，可以适当提一点要求。一、数列基础知识复习1、学会装傻，让学生动手，给孩子信心。例1、（2009年高考全国I卷(14)）. 设等差数列的前项和为，若,则= 。解: 层次1、；。层次2、由得；层次3、由得层次4、2、到底要落实什么？什么是基本性质？到底讲多少？背多少？（1）通项公式、前项和公式；（2）等差中项、等比中项的性质；（3）若，则（等差数列）（等
2、差数列）；（4）（等差数列）；（5）也成等差数列或等比数列；（6）。（1）把握尺度，过犹不及。例2、（2009年高考宁夏、海南卷(16)）已知等差数列的前n项和为。如果+-=0，=38,则m=_（2）对症训练，落到实处。例3、设满足：，.则数列的通项公式为 。3、对数列中等难度问题做点准备。数列出大题，很有可能触及递推公式。解决递推问题，往往要构造新的数列。（1）弱化技巧，强调构造新数列的意识。例4、（2009年高考湖北卷(19)）. 已知数列的前n项和（其中n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明。解析：（I）在中，令n=1，可得，即当
3、时，. (II)由（I）得，错位相减，可得于是确定的大小关系等价于比较的大小由 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 可猜想当可用数学归纳法证明。（2）注意解答题的问题设计，灵敏捕捉任何信息。例5、（2009年高考全国I卷(20)）. 在数列中，（I）设，求数列的通项公式； （II）求数列的前项和分析：（I）（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =例6、（2009年高考全国II卷(19)）. 设数列的前 n项和为，已知。 （1）设；（2）求数列a的通项公式。（此题见于现教材人教B版52页，原题为：在数列中，（1）设；（2）设，求证数列是等差数列；（3）求数列a的通项公
4、式及前项和的公式。）二、谈谈数列综合问题 1、看看2009年几个省的新课标考题。今年，山东、宁夏、广东、海南、江苏、天津、福建、浙江、安徽、辽宁10个率先进行高中新课程改革的省份进行的是新课程基础上的高考。按照教育部的规划，高中新课程改革将在2010年前全面推开，到2012年，全国内地所有省份都将进入新课程高考。有意思的是，在今年9套卷子（宁夏、海南一张卷）中，宁夏海南卷、辽宁卷、福建卷、浙江卷根本没有数列解答题。江苏卷把数列出在了第3个大题位置，天津卷最后一个大题是数列，模样很象北京以前的压轴题，一样的不着调。个人以为安徽卷的数列题很值得研究。而广东卷与山东卷的数列题略有雷同，而且与1998
5、年的高考题差不多，2007年重庆卷（那时还不是新课标）考的也是这个题。例1、（2009年高考山东卷(21)）.等比数列的前n项和为，已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （2）当b=2时，记 。证明：对任意的 ，不等式成立。（可考虑换个设问方式：比较与的大小，并证明你的结论）解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以用数学归纳法证不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立
6、.例2、（1998年普通高等学校招生全国统一考试第25题）已知数列是等差数列，+=100。设数列的通项，记是数列的前n项和。试比较与的大小，并证明你的结论。例3、（2007高考重庆卷21）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：.解：（）的通项为.（）令.因，因此.从而 例4、（2009年高考广东卷(21)）.已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解：（1），（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7、 新课程高考省份的数学命题，是不是就代表了新课程的一些方向？未必。因为怎么体现新课程的理念，现在都在探索之中，尽管他们的命题有亮点。2、谈谈数列综合题例5、（2009年高考安徽卷（21）首项为正数的数列满足 （I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围.解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）由得于是或。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因此，对一
8、切都有的充要条件是或。（1）、给出数列的最重要、最时髦的方式是什么？什么是综合问题？什么是综合能力？例6、（2006年高考陕西卷（22）已知函数 , 且存在(0, ) ,使. 设, ;, , 其中n=1,2,（I）证明：是R上的单调增函数； （II）证明：; （III）证明： . 分析： （1）什么样的函数适合作数列的发生器？（2）数列的单调性与产生它的函数的单调性的关系？（3）构造函数在代数综合问题中，往往函数、数列、不等式等等知识混杂在一起，纷繁复杂中如何理出个头绪？这里的“综合”不是拼盘，其内在的联系是什么？一眼望去，或许是数列、不等式，但深究起来，起核心作用的往往是函数，而数列是题目的
9、背景，不等式常常只是个工具。数列的常见给出模式：。在这里，函数成了数列的“发生器”。数列性质的研究不可避免的要用到函数的性质，比如单调性和函数的不动点。（2）、构造函数例7、（2006年高考湖南卷（19）已知函数,数列满足如下条件:证明:();().分析：我们很多时候借助的是函数的增区间。（3）、数学归纳法例8、数列中，前项和为，求的值，并确定数列是否为等差数列或等比数列。解：总结：给学生几个处理数列问题的模式：1、数列中等（或稍难）问题常涉及递推，强调构造新数列的意识，对设问当中的信息要敏感；2、能把数列看成是由一个函数迭代而成，而这个函数往往是增函数（至少是用它的增区间），数列的增减经常取
10、决于前两项的大小；3、强调数学归难法的应用，数列部分非常适合考察学生探索、实践的能力和意识；4、对于较困难的数列问题，常常要构造函数，注意不要对数列求导。三、北京题的特点1、培养实践精神、强调探索意识、锻炼动手能力例1、（2009年高考北京卷(14)）. 已知数列满足如下条件：则_；=_.例2、（2008高考北京卷（14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 【答案】 谈谈近来看到的两个比较好的题。例3、（2009年西城区高三一模（14）.
11、已知函数由下表给出：01234其中等于在中k所出现的次数. 则=_；_.例4、（2009海淀高三一模（14）已知函数. 对于下列命题： 函数是周期函数； 函数既有最大值又有最小值； 函数的定义域是R，且其图象有对称轴；对于任意，（其中是函数的导函数）.其中真命题的序号是 （填写出所有真命题的序号）2、北京考题对技巧的要求弱化了，对能力的要求提高了，关注学生解决问题的能力、展现自己能力的能力。例5、（2008西城高三一模19）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（）依
12、题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 设 则由线段中点横坐标是， 得，解得，适合. 所以直线的方程为 ，或 . （）假设在轴上存在点，使为常数. 当与轴不垂直时，由（）知 所以 将代入，整理得 例6、（2009高考北京卷19）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（I）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（1），。双曲线的方程为；（2）（）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆在点处的切线方程为，化简得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由及得，切线与双曲线
13、C交于不同的两点A、B，且，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，且， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m 3、北京卷或许算是“峨嵋派”吧。例7、（2009高考北京卷8）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点”C直线上的所有点都不是“点”D直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”分析：设，则，消去n,整理得关于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有实数解，应选A.1
