初二数学奥数1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)假设AD＝1，BC＝3，DC＝，试判断△DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，假设存在，请直接写出PB的长；假设不存在，请说明理由2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.〔1〕如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②假设∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；〔2〕如图25－2，假设∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为*〔6≤*≤12〕试问：*为何值时，△ADN为等腰三角形.3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次"左转弯运动〞．正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，……．〔1〕请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；〔2〕连接P1A、P1B，判断 △ABP1与△ADP之间有怎样的关系.并说明理由。
图1图2(3)以D为原点、直线AD为轴建立直角坐标系，并且点B在第二象限，A、P两点的坐标为〔0，4〕、〔1，1〕，请你推断：P4、P2021、P2021三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等距网格〔每格的宽和高均是1个单位长〕中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开场，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停顿移动.设运动时间为*秒，△QAC的面积为y.〔1〕如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；〔2〕如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与*的函数关系式，并说明当*分别取何值时，y取得最大值和最小值.最大值和最小值分别是多少.〔3〕在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当*取何值时，y取得最大值和最小值.最大值和最值分别是多少.为什么.5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形"猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，假设AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗"如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗"(3)如图③，假设△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗"EF与BE、CF关系又如何"说明你的理由。
6、，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数7、 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么.试说明理由1、解：〔1〕证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF= CD，∴△CDF是直角三角形〔如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形〕，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF= 〔BC-AD〕=1，∵DC= ，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；〔3〕共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-，PB=3+2、证明：〔1〕①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN， ∴△ABN≌△ADN．②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2 ． ∴点M到AD的距离为2 ．∴AH=2． ∴DH=6+2=8．〔2〕解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形． ∴∠CAD=45°．下面分三种情形： 〔Ⅰ〕假设ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得*=6；〔Ⅱ〕假设DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M恰好与点C重合，得*=12；〔Ⅲ〕假设AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD∥BC， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3，∴∠3=∠4． ∴CM=． ∴AC=6 2． ∴CM==AC-AN=6 2-6．故*=12-CM=12-〔6 2-6〕=18-6 2．综上所述：当*=6或12或18-6 2时，△ADN是等腰三角形。
3、解：〔1〕用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；〔2〕△ABP1≌△ADP，且△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．理由如下：在△ABP1和△ADP中，由题意：AB=AD，AP=AP1，∠PAD=∠P1AB，∴△ABP1≌△ADP，又∵△ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠PAP1=90°，∴△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；〔3〕点P〔1，1〕关于点A〔0，4〕左转弯运动到P1〔-3，3〕，点P1〔-3，3〕关于点B〔-4，4〕左转弯运动到点P2〔-5，3〕，点P2〔-5，3〕关于点C〔-4，0〕左转弯运动到点P3〔-1，1〕，点P3〔-1，1〕关于点D〔0，0〕左转弯运动到点P4〔1，1〕，点P4〔1，1〕关于点A〔0，4〕左转弯运动到点P5〔-3，3〕，点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，，点P2021的坐标为〔-3，3〕点P2021的坐标为〔-5，3〕．4、解：〔1〕如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；〔2〕当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移*秒时〔如图2〕，则有：MA=*，MB=*+4，MQ=20，y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC=4+20〕〔*+4〕- ×20*- ×4×4=2*+40〔0≤*≤16〕．由一次函数的性质可知：当*=0时，y取得最小值，且y最小=40，当*=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；〔3〕解法一：当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16≤*≤32，PB=20-〔*-16〕=36-*，PC=PB-4=32-*，∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC= 〔4+20〕〔36-*〕-×20×〔32-*〕- ×4×4=-2*+104〔16≤*≤32〕．由一次函数的性质可知：当*=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；当*=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．解法二：在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着〔2〕中△QAC*一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．当*=16时，y取得最大值，且y最大=72，当*=32时，y取得最小值，且y最小=40．5、解：〔1〕图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；〔2〕还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，如以下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在．〔3〕有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，∵如以下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，此时EF=BE-CF，6、解：在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，∴△ABD≌△ACE〔SAS〕，∴∠E=∠ADB．∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°，∴∠E=56°．7、解：OE=OF．证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，∴∠AOF=∠EOB．在△AOF和△BOE中∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，∴△AOF≌△BOE〔ASA〕．∴OE=OF．. z.。