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1、第十四章 解直角三角形一、锐角三角函数（一）、基础知识1锐角三角函数定义。在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是： sin A = , cos A = , tan A = ，cotA=这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角A必须在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系2同角三角函数间的关系：（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1； (2) 商的关系: tanA =； cot A = （3）倒数关系： tan A = 3互余两角三角
2、函数间的关系： sin=cos(900-) cos=sin(900-) tan=cot(900-) cot=tan(900-) 通常我们把正弦函数和余弦函数叫做互为余函数，即正弦函数是余弦函数的余函数，余弦函数也是正弦函数的余函数，同样，也把正切函数和余切函数叫做互为余函数。 上面的四个公式，就可以概括成一句话：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数。 4特殊角的三角函数值： 00300450600900sin01cos10tan01不存在cot不存在105锐角三角函数的增减性 正弦函数和正切函数是增函数；余弦函数和余切函数是减函数。6锐角三角函数值的范围：0sin1，0cos0， cot0
3、（二）、典型例题例 1：已知在ABC中，C=900，a、b、c分别为A、B、C的对边，且ba=7， c=13。求ABC中较小锐角的四个三角函数。 解：ba=7 (b-a)2=49 a2+b2-2ab=49 a2+b2=c2 a2+b2=132 a2+b2=169 1692ab=49 ab=60 (a+b)2=(ba)2+4ab (a+b)2=72+240 (a+b)2=289 a+b0 a+b=17 由、： a=5, b=12 a0b cosA =解法二： sinA=tanB tanB=cotA cot AsinAsin2A=cosA sin2A+cos2A=1 cosA+cos2A=1 co
4、s2A+cosA1=0cosA cosA0cosA , 说明：解法一是根据锐角三角函数定义求 cosA 的值，即求的值，解法二是利用c三角函数间的关系，建立关于 cosA 的一元二次方程，从而求出 cosA 的值，解法一是基本的解法，解法二具有一定的灵活性，对于培养同学的解题能力有好处。 例3 :已知cot+=5, 00 0 cos+10 13cos12=0 cos=说明：本题的条件中没有说明角在直角三角形中，所以不能通过边的比求 cos，只能利用有关的公式建立关于 cos的方程，从而求出 cos的值。例 4：比较cos230，tan230，sin230，cot230的大小。 解： tan 2
5、30 cos300=tan230cos230sin2301 cot230cos230sin230tan230cos230cot230说明：锐角三角函数比大小，有以下几种情况： 若是同名三角函数比大小，则利用锐角三角函数的增减性比大小； 若是异名三角函数比大小，则化为同名三角函数进行比较。 若异名三角函数不能化成同名三角函数，则需要利用一些“中间量”来比大小，本例题就属于这种类型。 tan230与cos230比大小时，是利用了两个中间量，即和；cot230与cos230比大小时，是利用了一个中间量 1。 例 5：比较cos250，tan240，sin230，cot220的大小。 解：tan 24
6、0 cos300=tan240cos250sin230=tan2301cos250 sin230tan240cos2500)=kD 为 BC 中点 BC=2BD=在 RtABC 中 tanB=AC=BC=AB2=AC2+BC2 （AE+BE）2=AC2+BC2 （7+2k）2=（）2+（）23k2-4k-7=0 (3k-7)(k+1)=0 k0 k+10 3k-7=0 k=DE=注(1)使用条件tanB时，必须将B放入一个直角三角型中，使其成为一个内角，才可将tanB转化为两条线段的比,本题中，第一次将其放入RtBDE中，得到=,第二次将B放入RtABC中，得到ACBC 。(2) 解题中若出现
7、线段比，一般情况下可设出份数，如本题中，=，所以设, DE=k BE=2k，这样可以使线段之间的关系明确。 例 2如图，在ABP中，N为AB中点，APN=900，NPB=300，求A的正切函数值. 解法一： 过 N 作 MNPN，交 PB 于 M P在 RtNPM 中 NPM=300 M = PN=MN A N B APN=900，N为AB中点 MN AP AP=2MN tanA=C解法二： 过 B 点作 BCAP，交 AP 延长线于 C APN=900NPC=900PNPB=300BPC=600 BC=PC A N BN 为 AB 中点 PN/BC P 为 AC 中点AC=2PC 在 RtA
8、BC 中 tan A=注：求一个锐角的三角函数值，一般情况下都要将这个锐角置于一个直角三角形中，解法一是将A 置于 RtAPN 中，解法二是置于 RtABC 中，已知条件中如有特殊角，也要将其置于直角三角形中，解法一是将NPB 置于 RtNPM 中，解法二是将NPB 的余角BPC 置于 RtBPC 中，这样才可以将锐角的三角函数与直角三角形的边的比联系起来. 本题还可以有其它解法. 例 3：如图，四边形 ABCD 和四边形 MNBE 均为正方形，MC 交 AB 于 F，已知 sinMCN= ,求cotAME的值。解：ME/NC EMF=MCN sin EMF = sin MCN = 设 EF=
9、5k, MF=13k 在 RtEMF 中 A DE 由勾股定理：ME=12kMF MN=BE=NB=ME=12k NBCFB / MN = = BC=BN=12k=k AE=AB-BE =BC-BE=k-12k=k cotAME =。例 4：如图，在ABC 中，AB=AC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，CFAB 于 F，且AD=BE+CF，求 tanABC 的值. 解：AB=AC BEAC 于 E，CFAB 于 F BE=CF AD=BE+CF AD=2CF 在 RtABD 和 RtCBF 中 ABD=CBF RtABDRtCBF = 即= AB = 4BD 在 RtABD 中 设 BD=k (k0) 则 AB=4k AD = =k tanABC=.11
