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1、（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 圆锥曲线的综合应用 随堂检测（含解析）1抛物线y24x上的点到直线l：xy20的距离最小，求P点坐标解：设P(x0，y0)则y4x0，P到l的距离d.当y02时，d取最小值，此时x01，故P点坐标为P(1，2)2若点P(x，y)是椭圆1上的动点，求xy的最大值解：由已知221，可设x5cos，y4sin，其中0,2)，xy5cos4sinsin()，其中tan.xy的最大值为.3若直线ykx交椭圆y21于A、B两点，且AB，求k取值范围解：由得x2.不妨设由两点间距离公式得AB210，解得k2.k.4在双曲线1的上支上有三点A(x1，y1)
2、、B(x2,4)、C(x3，y3)它们与点F(0,3)的距离成等差数列(1)求：y1y3的值；(2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标解：(1)c3.F(0,3)为双曲线的上焦点，设上准线为l1，分别过A、B、C作x轴的垂线它们分别与x轴交于A1、B1、C1，与l1交于A2、B2、C2，令e为离心率，则有e|AA2|AF|、e|BB2|BF|、e|CC2|CF|.于是有2e|BB2|2|BF|AF|CF|e|AA2|e|CC2|，即2|BB2|AA2|CC2|.从而2|BB1|2|B1B2|2|BB2|A1A2|C1C2|AA2|CC2|y1y3，即y1y32y28.(2)A
3、C的中垂线方程为y(y1y3)，即y4x.由于A、C均在双曲线上，所以有1，1，两式相减得(xx)(yy)，从而有(y1y3)810.代入得y4x5，易见此直线过定点D(0,9)A级双基巩固1.椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且|的最大值的取值范围是2c2,3c2，其中c.求椭圆离心率的取值范围解：|2a2，则2c2a23c2,2e213e2，e.椭圆M离心率的取值范围是.2已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，求长半轴长的最小值解：法一：abc4，bc4a.又b2c2a2，b2c2a2，解得a4(1)法二：由a2b2c2，设bacos，casin，则a(co
4、ssin1)4，a4(1)此椭圆长半轴长的最小值为4(1)3.如图所示，曲线G的方程为y22x(y0)以原点为圆心，以t(t0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；(2)设曲线G上点D的横坐标为a2，求证：直线CD的斜率为定值解：(1)由题意知，A(a，)因为|OA|t，所以a22at2.由于t0，故有t，由点B(0，t)，C(c,0)的坐标知，直线BC的方程为1.又因点A在直线BC上，故有1，将代入上式，得1解得ca2.(2)因为D(a2，)，所以直线CD的斜率为kCD1.所以直线CD的斜率为定值4.
5、如图：A、B是定抛物线y22px(p0是定值)的两个定点，O是坐标原点且0.求证直线AB必过定点，并求出这个定点解：显然OA，OB必有斜率且斜率均不为零设OA的斜率为k，则OA：ykx.当k1时，由得A，同理B(2pk2，2pk)kAB.AB的方程为：y2pk(x2pk2)，整理得：yk2(2px)ky0.(*)令即则(*)对于一切实数k均成立，故直线AB过定点(2p,0)当k1时，ABx轴，其方程为x2p.它也经过点(2p,0)，故直线AB必过定点(2p,0)5在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和
6、为10.(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心坐标为(m，n)(m0)，则该圆的方程为(xm)2(yn)28已知该圆与直线yx相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2，即|mn|4.又圆与直线切于原点，将点(0,0)代入得m2n28.联立方程和组成方程组解得故圆的方程为(x2)2(y2)28.(2)|a|5，a225，则椭圆的方程为1，其焦距c4，右焦点为(4,0)，那么OF4.要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转
7、化为探求以右焦点F为圆心，半径为4的圆(x4)2y216与(1)所求的圆的交点数通过联立两圆的方程解得x，y，即存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长6已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M，N两点(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)，使P到定点A(a,0)(其中0a0，n0，且mn)，椭圆过M，N两点，椭圆方程为1.(2)设存在点P(x，y)满足题设条件，|AP|2(xa)2y2，又1，y24.|AP|2(xa)2424a2(|x|3)，若3，即03，即a0)，则由4s28.s2，故ABC的外接圆的方程为x2(y2)28.(3)假设存在这样的点M(m，
8、n)，设点P(x，xt)，因为恒有PMPQ，所以(xm)2(xtn)2x2(xt2)28，即(2m2n4)x(m2n22nt4t4)0对xR恒成立从而消去m，得n2(t2)n(2t4)0(*)，因为方程(*)的判别式为t24t12，所以当2tb0)，一个焦点F(2,0)，c2，即a2b24.点P(3，)在椭圆1(ab0)上，1.由解得a212，b28，所以所求椭圆的标准方程为1.(3)由题意得方程组解得或Q(0，2)，(3，3)(3，3)，(33，3)|，当时，|最小2.如图，已知O过定点A(0，p)(p0)，圆心O在抛物线x22py上运动，MN为圆O在x轴上截得的弦，令AMd1，ANd2，M
9、AN.(1)当O点运动时，MN是否有变化？请证明你的结论；(2)求的最大值及取得最大值时的的值解：设圆心O(x0，y0)，则圆O的方程为(xx0)2(yy0)2x(y0p)2.令y0，得x22x0xxp2，解得xMx0p，xNx0p.所以MNxNxM2p，即MN是定值(2)d(x0p)2p2，d(x0p)2p2，d1d2，所以2.当且仅当x2p2时，等式成立，即x0p(y0p)时，取得最大值此时MON90，所以45.3一束光线从点F1(1,0)出发，经直线l：2xy30上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0)(1)求P点的坐标；(2)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；(3)由(2)，
10、设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件下的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设F1关于l的对称点为F(m，n)，解得m，n，即F，故直线F2F的方程为x7y10.由解得P.(2)因为PF1PF，根据椭圆定义，得2aPF1PF2PFPF2FF22，所以a.又c1，所以b1.所以椭圆C的方程为y21.(3)假设存在两定点为A(s,0)，B(t,0)，使得对于椭圆上任意一点Q(x，y)(除长轴两端点)都有kQAkQBk(k为定值)，即k，将y21代入并整理得x2k(st)xkst10(*)由题意，(*)式对任意x(，)恒成立，所以，解之得或.所以有且只有两定点(，0)，(，0)，使得kQAkQB为定值.4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B(1，3)(1)求椭圆C和直线l的方程；(2)记曲线C在直线l下方部分与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.若曲线x22mxy24ym240与D有公共点，试求实数m的最小值解：(1)由离心率e，得，即a23b2.又点B(1，3)在椭圆C：1上，即1.解得a212，b24.故所求椭圆方程为1.由A(2,0)，B(1，3)得
