《数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点4数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1.（ 2015江苏苏州市高三上调考）已知数列 an 共有2k项（2 1(1)求证：数列 an 是等比数列;(2)2若 p=22k 1,数列bn 满足bnlog2 ( a2 an) (n=1, 2,，2n),求数列 bn n的通项公式（3）对于（2）中的数列 bn,3g |bn-1，求数列cn 的前2k项的和.【考点】数列的求和；数列的应用.【解】（1）证明：当n=1时，a2=2p,则鱼p,a1当 2Wn 时，an 1(p-1) Sn2 ,an ( p 1)Si-12 ,二 an 1 an( p 1 ) an ,即an 1Pan
2、 ,an 1an故数列an 是等比数列.n 1(2)由(1),得 an 2p(n=1.2,，2n),n 12 3 n a1a2 an 2 p(n 1) n2np2 (n 1)n n (n 1)n 2n22k 122 2k 11bnlog2(3ia2 an)n1/ (n 1)n、 =一5)n2k1(n1)./=1,(n=1,2,2k 12n),即数列bn的通项公式为bn(n 1)2k 11, (n=1, 2,，2n).(3) Cn |bn |，设 bn-，解得 nw k 1 ,2 23|又n为正整数，于是：当 nw k时，bnV ;当nk+1时，bn22数列 Cn 的前2k项的和:bib2b2k
3、 1b2k(2b) $b2).(2bk)(bk 12) (bk(bk1bk 2b2l)-(bib2bk)1-k (k1).(2 k1)11 2 .2k12k 1k22k1 2(k 1)2. ( 2015江苏高考冲刺压轴卷弓). (b2k(三)设数列 an 的前n项和记为Sn,且Sn2n 3n 4 .(1) 求数列 an的通项公式；a25(2) 设bn -n，记数列 bn 的前n项和记为Tn,，求证：一w Tnv 336【考点】错位相减法求和【解】(1) 当 n=1时，a12，当 nA2 时，an Sn Sn 1 2n 4，故 an2,n 12n 4,n2(2)bnan2,n32n 42其中T1
4、，当nA 2时，Tn3032，nv3n232560332n12 3n2得，3 Tn32(nA2)，由于 bn 0 , - w Tn32n 4可厂，235 0，是单调递增数列.要使&V 3成立，即使4V3，整理得n+22n二 n=1, 2, 3.4. (2015江苏省南京市高三考前综合)公差不为零的等差数列 an 的前n项之和为Sn ,且 Sn=() 对 n n 成立.(1)求常数k的值以及数列 an的通项公式;(2)设数列an中的部分项3k1,3k2,ak3,akn,，恰成等比数列，其中k,= 2, , k3=14, 求 a1k1+ a2k2+ ankn 的值.【考点】等差数列或等比数列中的基
5、本量问题；错位相减法与裂项相消法.【解】(1)法一：条件化为 2 Sn= an+ k对n N*成立.设等差数列公差为d,则2” n(1)d = a,+ (n1)d + k .2 ai ai k 分别令n= 1,2,3 得： 22a1da1dk2 3a3d a1 2d k由+2 得，.云3a-3d 2 2a1 d .两边平方得，4a1+ d=2 3a12 3a1d .两边再平方得，4a/ 4a1d + d2=0 解得d= 2內.代入得，4. q = 3ar+ k，由一得，印=；a1 .所以a1 = 0，或a1 = 1.又当a1 = 0时，d = 0不合题意.所以a1 = 1, d= 2.代入得k
6、= 1.2a k 2*而当 k= 1, a1 = 1, d = 2 时，Sn= n , an= 2n1，等式 5=()对 n N 成立.所以 k= 1, an= 2n1.法二：设等差数列的首项为 a1，公差为d,则 Sn=g+ 咛=即2+- 2)nan= a1+ (n1)d= dn+ (a d).代入愛号)2得, 2+-2)n=汕七+k-d)2,2 2 2 2即 2dn +(4a1 2d)n= d n + 2d(a1+ k d)n+(a+ k d).因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，2d d24a1 2d 2d (ai k d)a1 k d 0d 2因为dz 0，所以解得
7、，a 1所以常数k = 1，通项公式an=2n1 .k 1(2)设 Cn= akn，则数列 cn为等比数列，且 g= ak1= a2=3, q= ak3 = a)4= 27 . 故等比数列 cn的公比q满足q2= C3 =9 .C1又 Cn 0,所以 q= 3.所以 Cn= C1qn1=3 3n1 = 3n .又Cn= akn = 2kn 1，所以 2kn1 = 3n .11由此可得k= 3n +.所以ankn=2221 1 1 所以 3*1+ a?k2+ ankn (3)红311 3132 211) -1 313 322L I11 3 5 L (2n2法一：令 S 1 31332 5则 3S
8、 1 32+3 33 + L+ (2 n两式相减得：2S=3+232 + 21 c 3(1 3n)1 33 (2n1) 3n2n 1 3n + 2n 13 +.2-)(5 33 -)2 2 2(332323333 L (2n 1) 3n,3) 3n+(2 n 1) 3n 1,33+L +26 (n1(n1) 3n131n22法二:因为(2 k 1)3k(k(k2) 3k.所以S032L(n1) 3n 1(n2)1(n311) 3n 1n21)(3n21) 31 1 33 0=(n1) 3n+1 + 3 .(n 1) 3n 1 n2 321 2(n1) 3n11) 3n 133 L (2n 1)
9、 3nL (2n 1) 3n3n (2n 1)12 3(13n 1 ,3n) 3 (2n 1)3,代入得 a1k1+a2k2 + L+ a.kn2 3k 1 (k 2)3k (k 1)32 2343k 11 33代入得 a1k1 + a2k2+3n1+ ankn(n 1) 3n 1 n2 325.(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知an是等差数列，其前n项的和为Sn，bn是等比数列，且a1bi2， a4 b4 21 ， S4 b430.(1)求数列an和bn的通项公式;记Cn anbn ,n N，求数列Cn的前n项和.【考点】数列的求和，数列递推式【解】(1)设等差数列an
10、的公差为d,等比数列 bn的公比为q.由a1由条件a4 b4 21，S4 b4 30，得方程组3d6d2q32q321解得303D 2，得 a4 =2+3d， b4 2q ， S4 8 6d所以 an n 1, bn 2由题意知,Cn(n1) 2n.记TnC2C3 LCn.则TnC2C3 LCn=2222231)2n，2Tn2 223 234 24 L2n2n所以Tn =22(2223 L 2n2n)(n1)2n 1，n 1*n 2 (n N ).6.( 15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷)已知 an为等比数列，其 中印=1，且a2，a3 a5，a4成等差数列.(1)求数列 an的通项公式:(2)设bn (2n-1) an，求数列 bn的前n项和Tn .【考点】数列的求和；等比数列的通项公式.【解】(1)设在等比数列 an中，公比为q, a1 1，且a2, a3 a5, a4成等差数列,二 2 ( a3a5)a2a4 , 2 (q2 q4)q q3,1 1(2) - an G)n1, 0 (2n-1) an (2n-1) (1 )1,1 1 1 Tn 1 1 3 - 5 (-)2 L (2n 1) (-)n 21-( l)n-1-( 2n-1) (-2)n=3 2,111 1 1
