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1、反比例函数与一次函数综合经典例题解析在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。.探求同一坐标系下的图象例1.已知函数y mx与y n在同一直角坐标系中的图象大致如图1,则下列结论正确x的是（）A. m 0, n 0C. m 0,n0B. m 0, n 0分析：由图知，一次函数y mx中，y随x的增大而增大，所以m 0 ;反比例函数y -x 在第二、四象限，所以 n 0。观察各选项知，应选 B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确
2、选择。k例2在同一直角坐标系中，函数y kx k与y （k 0）的图象大致是（）xA.B.C.D.图2分析：本题可采用排除法。由选项 A、B的一次函数图象知，k 0即k 0,则一次函数y kx k图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项 A、B都不符合要求，故都排k除；由选项D的一次图象知，k 0即k 0 ,则反比例函数y k（k 0）图象应在第x一、三象限，而选项 D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解 决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式k例3如图3，直线y kix b与双曲线y 只有一个交点 A（ 1，2），
3、且与x轴，yx轴分别交于B，C两点，AD垂直平分0B,垂足为D，求直线与双曲线的解析式。解析：k 2因为双曲线y过点A（ 1，2），xk所以2乞,k2212得双曲线的解析式为 y -。x因为AD垂直平分0B ,A点的坐标为（1，2）。所以B点的坐标为（2，0）。因为y k1xb 过点 A（ 1，2）和 B（ 2，0），所以k1 b 22k1 b 0解得k12所以直线的解析式为 y 2x 413X的交点为A，B，过点A作y轴3的平行线与过点 B作x轴的平行线相交于点C,贝U ABC的面积为（评注：解决本题的关键是确定点 B的坐标，由AD垂直0B知，点D和点A的横坐标应 相同，所以点 D的坐标为（
4、1，0），又AD平分0B知，OB 20D 2，所以点B坐 标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三. 探求三角形面积4例4如图4,反比例函数y 的图象与直线yxC. 4D. 2A. 8B. 641解析：把y 代入y x，得x341xx 3整理得x212解得 x 12 . 3,x 22、3把 x12.3,x22 3分别代入4yx得 y1 joy?=333所以点A的坐标为（2 3,2、3）3点B的坐标为(2.3, 2 3)3由题意知，点 C的横坐标与点 A的横坐标相同，点 C的纵坐标与点 B的纵坐标相同， 所以点C的坐标为(2 3, 2 3 )。3因为 AC2 伍-y/3 ,333所以ABC的面
5、积为1 14-ACBC.34382 23故应选A。2例5如图5,已知点A是一次函数y x的图象与反比例函数y的图象在第一象限内xA. 2的交点，点B.C. 2D. 2 222析解：把y x代入y ，得x ，xx整理得x2 2，解得Xi2,x22得Xi2,x22分别代入y x得yi2,y22又点A在第一象限内，所以点 A的坐标为（,2, . 2）在 AOC 中 AC 、2,0C、2由勾股定理，得 0A 2,所以0B=2。所以AOB的面积为11-OB AC 222，22故应选（C）评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交 点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四探求
6、点的坐标1 k例6如图6,直线y x 1分别交x轴、y轴于点A ,C，点P是直线AC与双曲线y 2 x在第一象限内的交点，PB x轴，垂足为点B， APB的面积为4。（1）求点P的坐标；（2）略。1析解：在y x 1中，令x 0，则y 1 ；令y 0，则x 2。 所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1 ）。1因为点P的直线y x 1 上,21不妨设点P的坐标为（m,-m 1）21所以 AB m 2, PB m 1。21又因为 S APB *AB PB 411所以(m 2)(m 1)422整理得m2 4m 12 0即(m 2)(m6)0解得 mj 2,m26因为点P在第一象限，所以m
7、2。故点P的坐标为(2, 2)。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。2m 5的图象都经过x五、综合运用例6 已知关于x的一次函数y = mx + 3n和反比例函数点(1, - 2).求：(1) 一次函数和反比例函数的解析式； 两个函数图象的另一个交点的坐标.解析：(1) 两函数图象都过点(1 , - 2),m+ 3n= 2, 2m + 5n= 2 .解之，得m= 4,n = 2.一次函数的解析式为y = 4x 6,2反比例函数的解析式为y=-.x(2) 根据题意，列出方程组y= 4x 6,2y=.x解之，得y一 2,1x =2y= 4.1两函数图象的另一个交点为(,-4).
8、评注:一次函数y = mx + 3n与反比例函数2my=-x(1 , 2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点,5n5-的图象都经过点则应由两图象的解析式组成方程组求解.k例7已知一次函数y= x + 6和反比例函数y= (k工0).x(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系 xOy中的图象有两个公共点?设中的两个公共点为 A，B,试判断/ AOB是锐角还是钝角？y= x + 6,(1)根据题意，得消去 y,得 x2 6x + k= 0.36 4k0,. kv 9.当kv 9且kz 0时，方程x2 6x + k= 0有两个不相等的非零实数解. k v 9且kz 0时，两函数图象有两个
9、公共点./ y= x+ 6的图象过第一，二，四象限， 0v kv9时，双曲线两支分别在第一、三象限由此知两公共点A，B在第一象限，此时/ AOB是锐角.kv0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时/ AOB是钝角.例8已知A(m，2)是直线I与双曲线y= 3的交点.x(1) 求m的值；(2) 若直线I分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且Rt OEF(O是坐标原点) 的外心为点A，试确定直线I的解析式；3(3) 在双曲线y=上另取一点B作BK丄x轴于K ;将 中的直线xI绕点A旋转后所得的直线记为I，若I与y轴的正半轴相交于点 C，一 1且OC = - OF
10、.试问在 y轴上是否存在点P，使得S pca = S BOK，4若存在，请求出点 P的坐标？若不存在，请说明理由.图】3OL解析：3:直线l与双曲线y =-的一个交点为A(m, 2),x3 3一 =2，即 m=二.m23 A点坐标为(一，2).2丿作AM丄x轴于M ./ A点是Rt OEF的外心， EA = FA .由 AM / y 轴有 0M = ME . OF = 20M./ MA = 2, OF = 4. F点的坐标为(0, 4).设I: y = kx + b，则有34k + b= 2,k = 一，23b = 4.b= 4.4直线I的解析式为y = x+ 4.31(3) t OC = 4
11、OF,A OC = 1 . C点坐标为(0, 1).设B点坐标为(X,，)，贝U13-sbok = -|x1| |y1| = 2设P点坐标为(0, y)，满足S pca = S BOK .当点P在C点上方时，y 1,有1333S PCA=2(y 1) x=；(y 1)= 2 y = 3.当点P在C点卜方时，y v 1,有13S PCA2(1 y) = 2 y = 一 2.综上知，在y轴存在点P(0, 3)与(0, 2)，使得S pac = Sbok 评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意:(1) 交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标
12、既满足直线的解析式也满足双曲 线的解析式.(2) 要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组 求出交点坐标.(3) 判断两种图象有无交点时，可用判别式确定， 也可以画出草图直观地确定.例9如图13- 32,已知C, D是双曲线y= m在第一象限内的分支x上的两点，直线 CD分别交x轴，y轴于A , B两点，设C, D的坐标分别是(x1,y1), (x2, y2)，连结 OC, OD .(1)求证：y! OC v y1 +yi1 若/ BOC = Z AOD = a, tan a= 3 , OC = 10，求直线 CD 的解3析式.证明：(1)如图13 33过点C作CG丄x
13、轴，垂足为 G,则CG = y1, OG = x1 .点C(x1, y 1)在双曲线y =上,xmy1在 Rt OCG 中，CG OC CG + OG , y1 OC y1 + .y1解：在 Rt GCO 中，/ GCO =Z BOC =a,tana=匹=1，即空=1CG 3yi3y- = 3x1 OC2 = OG2 + CG2, OC =、. 10,10 = x2 + y2，即 10 = x2 + (3x1)2 .解之，得x = 1.负值不合题意， x = 1, y = 3.点C的坐标为(1 , 3),.点c在双曲线y = m上，x 3=，即 m = 3.13所以，双曲线的解析式为y= 3.x过点D作DH丄x轴，垂足为 H .贝U DH = y2，OH = x2.DHy1在 Rt ODH 中，歸=-=打=3，即 x2 = 3y2
