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1、饮酒驾车的优化模型摘要酒后驾车发生事故给人身安全造成极大的伤害，在全世界引起了广泛的关注。本文通过分析啤酒中酒精在人体体内胃肠（含肝脏）与体液(含血液)之间的交换机理,分别建立了在短时间内喝酒和长时间喝酒两种情况下，胃肠和体液(含血液)中的酒精含量的微分方程。对给出的数据,利用非线性最小二乘数据拟合及高斯-牛顿算法,确定了一瓶啤酒中的酒精含量以及酒精从胃肠进入血液的速度系数和酒精从血液渗透出体外的速度系数。继而 ,对不同喝酒方式下,血液中酒精浓度进行分析。该模型不仅能很好地解释大李在中午12:00时喝了一瓶啤酒后,在下午6:00时检查时符合驾车标准，紧接着再喝一瓶啤酒后，在次日凌晨2:00时检
2、查却被判为饮酒驾车这一现象，而且可以预测喝酒后任一时刻血液中的酒精浓度.利用所建立的模型，我们可得到以下结果：1.大李在第一次检查时血液酒精浓度为19.9616毫克/百毫升。 第二次检查时血液酒精浓度为20.2448毫克/百毫升，这是由于第一次喝酒在体液中残留的酒精所导致。2.在短时间内，喝三瓶啤酒或喝半斤低度白酒分别在12.25小时和13.6小时内驾车会违反驾车新标准规定；在2小时间内喝3瓶啤酒或喝半斤低度白酒分别在13.28小时和14.63小时内驾车会违反驾车新标准规定。3. 短时间喝酒，无论喝多少酒，血液中的酒精含量达到最高所用时间均为1.3255 小时。长时间也与所喝酒精的量无关，只与
3、喝酒所持续时间有关，我们得到喝酒持续时间与酒精含量到达最高点的时间的关系如下： 喝酒所用的时间（单位：小时）12345678酒精含量到达最高点的时间1.91392.65103.48354.37135.29176.23297.08808.1530 4. 如果天天喝酒，只要适当控制好喝酒量与喝酒以后到开车的间隔时间还是可以开车的。比如：一个70公斤，喝2瓶啤酒需间隔10小时以上。 该模型能较精确的预测时间与血液中酒精浓度的关系，其解具有较好的稳定性，为定量研究饮酒与驾车的关系提供了科学的依据。同时，它具有很好的推广和应用价值，模型可推广到医学，化学等方面。一、问题的重述酒后驾车引起的死亡事故占全国
4、交通事故相当大的比例。酒后驾车的认定是以血液中酒精含量为判罚标准。全国新的车辆驾驶人员血液、呼吸酒精含量阀值与检验中规定：驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于等于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车。大李在一天中喝了2次啤酒。第一次是在中午12点喝了一瓶，下午6点检查时符合驾车标准，紧接着他吃饭时又喝了一瓶，到凌晨两点驾车回家又被检查却被判定为饮酒驾车，要求建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并对以下问题进行分析：1 对大李碰到的情况作出解释。2 在喝了三瓶啤酒或者半斤低度白酒后至少要多长时间加车才不会违反上述标准，分两种情况讨论
5、：（1） 酒是在短时间内喝的；（2） 酒是在很长一段时间（如2小时）内喝的。3 血液中酒精含量的最高值是什么时间。4 论证：如果天天喝酒，还能否开车？根据模型结合国家的有关标准写一篇短文，给喝酒的司机提出忠告。二、 模型假设1假设喝啤酒后，啤酒中的酒精全部进入胃肠（含肝脏）,然后经过胃肠渗透到体液中。2假设酒精从胃肠向体液的转移速度，与胃肠中的酒精浓度（或含量）成正比。3假设体液中的酒精消耗（向外排出、分解或吸收）的速度，与体液中的酒精浓度（或含量）成正比。4对问题一，假设大李在下午6点接受检查，之后由于停车、等待等原因耽误了一定时间（这里不妨小时），即大李从第一次检验到第二次喝酒之间间隔为半
6、个小时。5假设大李在两次喝酒时都是将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。（针对问题一）6假设酒在很短的时间内喝完即将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。7假设酒在较长一段时间内喝时是匀速喝下去，即每个时间段喝的酒是相等的。8假设酒精在血液中的含量与体液中的含量相同。（题中参考数据）9假设不考虑个体差异(即对于每个人，酒精由胃肠向体外排的速度系数及向体液渗透的速度系数,体液中酒精向体外排除的速度系数是不变的。)10假设人体不会产生酒精。11.假设题目中所给的数据真实可靠。12假设体液的密度为1千克/升。13假设不考虑体外进入体内的水。三、变量说明:酒精进入胃肠的速率；:在第次喝酒
7、后t时刻胃肠中的酒精质量；:在第次喝酒后t时刻体液中的酒精质量；:酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数；:酒精从胃肠进入体液的速率系数；:酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；：一瓶酒中的酒精质量（单位：毫克）； ：喝酒的瓶数；：大李第i+1次喝酒距第i次喝酒的时间间隔；：一次喝酒持续的总时间；:体液中的酒精含量；:人体体液的体积（单位：百毫升）。四、模型建立一个人的血中酒精含量取决于他喝了多少酒、他体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是肝脏）的吸收与分解进体液的。因此本文把酒精的从胃肠（含肝脏）向体液转移情况用如下简图（图一）直观地表示
8、： 胃 肠体液（图一）其中为酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数；为酒精从胃肠进入体液的速率系数；为酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；为酒精进入胃肠的速率。问题一：要解释大李碰到的情况，就要证明大李在中午12点喝一瓶啤酒后在下午6点时体内血液中的酒精含量小于20，在晚饭时再喝一瓶啤酒后在凌晨2点时体内血液中的酒精含量大于或等于20。由于酒精在血液中的含量与在体液中的含量相同，下面讨论人喝酒后胃肠与体液中的酒精含量。根据假设的条件及图一可以看出： 的变化率由从胃肠进入体液的酒精和从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的酒精组成；的变化率是由从胃肠进入体液的酒精与在体液中消耗
9、（向外排出、分解或吸收）的酒精组成。所以，可以建立如下的微分方程： （1）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0时，胃肠中的酒精量为一瓶酒中的酒精与饮酒瓶数的乘积，而此时体液中的酒精量为零。因此初始条件为体液（或血液）中酒精的浓度为 根据以上建立的微分方程模型，求出当时的值，并判定(毫克/百毫升)是否成立，若成立，则说明大李在中午12点喝一瓶啤酒后在下午6点时符合驾车标准。 （2）大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有酒精，所以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的酒精量为N瓶酒中的酒精质量与第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量之和，而此时体液中的酒精质量为第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量。因此大李第二
10、次喝酒的模型如下： 根据题意，判断是否成立。问题二：（1）问题二的第一问与问题一中大李第一次喝酒的情况大致相同，模型如下：（2）对于第二问，的变化率由从胃肠进入体液的酒精，从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的酒精以及酒精进入胃肠的速率组成。的变化率由从胃肠进入体液的酒精与在体液中消耗（向外排出、分解或吸收）的酒精组成。在饮酒期间（），假设酒精进入胃肠的速度是匀速的，则酒精进入胃肠的速率为，饮酒后，无酒精进入胃肠，所以，因此，建立微分方程模型如下：其中 下面讨论初始条件，因在t=0时胃肠中的酒精质量和体液中的酒精质量都为零。故初始条件为体液（或血液）中酒精的浓度为 问题二即求满足的时间范围。问题三
11、：问题三分为两种情况：第一种情况是酒在很短的时间内喝的，第二种情况是酒在较长一段时间内喝的。第一种情况：酒在很短的时间内喝的，要求血液中酒精含量最高的时间，即求体液中酒精含量函数的最值点。用极值与最值的关系，因最值存在，且可验证驻点唯一，故可通过求解驻点得到。即求满足的时间。其中满足以下微分方程 第二种情况为：酒在较长一段时间内喝完，同理为求满足的时间。其中满足以下微分方程 问题四：如果天天喝酒，设每天喝瓶，第次饮酒与第次饮酒的间隔时间为，每日饮酒量为，按照与问题一同样的思路，得第一天体液中酒精含量满足的微分方程为：第二天体液中酒精含量满足的微分方程为：第n天体液中酒精含量满足的微分方程为：
12、五、模型求解问题一的求解：微分方程(1)是可分离变量的，(2)是一阶线形非齐次方程，所以很容易可以得到它满足初始条件的特解为 令 ，解可转化为根据题目中所给的饮两瓶啤酒的数据，此时。对于利用非线性最小二乘法拟合及高斯-牛顿算法可得： 拟合图形如下：图中圆圈表示的点是根据题中参考数据画出的图形，曲线为拟合后的图形。将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李在中午12点饮一瓶啤酒，即时，到下午6点第一次检查时体液中的酒精含量（即血液中的酒精含量）所以大李通过了第一次检查。大李第二次喝酒模型的方程解为：考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于停车等待等原因耽误了大约半个小时，假设大李从第一次检验到第二次
13、喝酒之间间隔0.5小时，代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中酒精含量为：20.2448 (毫克/百毫升)。这就解释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的残留量。问题二的求解：我们分别考虑喝了3瓶啤酒和半斤低度白酒在短时间和2小时内喝下的情况。短时间内喝下的模型的解（已在问题一求解中解得到）为：在一个较长时间内喝下的微分方程中，是个分段函数，所以需要分段求解，我们将其转化为两个微分方程： （1） （2）微分方程组（1）的解为：微分方程组（2）的解为： 在代入具体参数值进行计算可得：多少时间内驾车违反新规定3瓶啤酒
14、(500ml,5)半斤白酒(38)短时间内喝完12.25小时13.6小时2小时内喝完13.28小时14.63小时 问题三的求解：第一种情况是酒在很短的时间内喝下的，我们在问题一中已求得 令可得 可见无论喝多少酒，体液中酒精的含量达到最高所用的时间均为1.3255小时，如下图：图中曲线分别表示喝1瓶，2瓶5瓶啤酒体液中酒精含量的走势图。第二种情况是酒在较长一段时间内喝的，其体液中酒精含量的表达式为分段函数，并可证明其高值在后半段到达。令，可得喝酒所用的时间（单位：小时）12345678酒精含量达到最高点所用的时间（单位：小时）1.91392.65103.48354.37135.29176.23297.08808.1530此图为一瓶啤酒在不同的时间内喝完的图形，8条曲线从左到右分别为1-8个小时内喝完酒体液中酒精含量走势图。其中每条曲线的最高点为体液
