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1、目录摘要 .1引 言.2一、求曲线的切线方程.4二、导数在探究函数性质中的应用 7（一） 判断函数的单调性7（二）函数的极值、最值问题 9（三）求函数的解析式 .11（四）导数在解决实际问题中的应用 .12（五）用导数判定函数的凸性及拐点.14三、研究方程根的情况15四、导数在不等式证明中的应用.15五、导数求参数的取值范围16六、导数在数列中的应用17（一）导数在数列求和中的应用18（二）求数列中的最大(小)项 18七、导数在求极限中的应用19八、近似计算19结束语.20参考文献.21导数在解题中的应用 XXX(中国)摘要：导数是近代数学的基础，是联系初高等数学的纽带。导数是一个特殊函数，它
2、的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用导数概念是我们今后学习微积分的基础同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。 导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。本文通过导数的基本理论
3、来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数在解题中的应用，如在数列、函数、不等式证明、实际问题、数列求和等方面的应用。关键词：导数；函数；单调性；最值；数列The Application of Derivative in Solving ProblemsGaoJingjing(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Derivative are the foundation of modern mathematics is linked bonds
4、in early mathematics. Derivative is a special function, which leads to and definitions of the function runs through ideas. Derivative is one of the core concepts of calculus, it is a special kind of limit, reflecting the pace of change in the degree of function. Derivative is the monotonicity of a f
5、unction, extremum, the curve tangent and some important tools for optimization problems, while the study of geometry, inequalities play an important role. Derivative concept is the basis for future study of calculus. At the same time, derivative in physics, economics and other fields have a wide ran
6、ge of applications, is an indispensable tool for scientific research. Derivative is an important foundation for calculus concepts of incremental independent variable tends to zero, the dependent variable and independent variable increment incremental quotient of the limit. Presence in the derivative
7、 of a function, call this function can lead or be differential. Be a continuous differentiable function. Discontinuous function must not be guided. Derivative is essentially a process of limit, derivative of the four algorithms from the limits of the four algorithms. In this paper, we discuss some p
8、roblems in mash by the theory of the derivative. The derivative application is obtained by using examples from simple application to comprehensive application, such as the application of the series, inequality proof, practical problems and summation series.Keywords: derivative; function; monotone; t
9、he most value; series引 言微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上，能起到化繁为简的作用，尤其体现在判定函数相关性质，证明不等式，恒等式及恒等变形，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值方面起着“钥匙”的作用定义：设函数 在点的某个领域内有定义，当自变量 在处取得增量 点 仍在该领域内时，相应的函数 的增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在处的导数，记为，即 导数定义的形式比较灵活.对它进行研究，能促进我们对导数的理解，帮助我们迅速、正确地解题，导数的定义式也可以有不同
10、的形式，常见的有 式中的即为自变量的增量.从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上
11、述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了流数法和无穷级数，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛
12、顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布贝努利和他的兄弟翰贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西。 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大
13、革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。一、求曲线的切线方程在求过点所作函数对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.当点在曲线上，即点为切点时，则切线方程为 .当点不在曲线上时，则设切点坐标为，由先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程. 例1.已知曲线,求过点P的曲线的切线方程.解：因，所以，则当时，. 当时，点P在曲线上，故过点P的曲线的切线方程为即， 当时，点P不在上，设曲线过点P的切线的切点是，则切线方程为且点P在此切线方程上，所以有 即又 则有 ，即 ，当时， 所以；当时， ，所以切线方程是 即
14、，当时，切线不存在.例2. 已知抛物线和抛物线，当取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.分析：传统的处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.解：设分别是直线与、的两个切点.又，的导数分别为：，所以 ，即 又、有且只有一条公切线，则点A与点B重合，所以，即，有点在上，可知，此时.例3. 已知曲线，直线，且与切与点，求直线的方程及切点坐标.解：由过原点，知，点在曲线上， 又，又 （不符合题意）所以的方程为，切点为.求曲线的切线方程，关键利用曲线上某点的导数就是曲线上过该点的切线的斜率.二、导数在探究函数性质中的应用（一） 判断函数的单调性假设在点中可导）若对中所有而言，则在中递增；）若对中所有而言，则在中递
