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1、目录隐藏 1 历史背景-爱因斯坦的直觉 2 几何基础-度规 3 史瓦西几何 4 测地线方程 5 光线在太阳引力场中偏折的近似公式 6 和经典力学的关系 7 圆轨道和其稳定性 8 椭圆轨道进动的推导 9 使用椭圆函数的圆轨道的解 10 可能轨道的定性分析 o 10.1 准椭圆轨道o 10.2 稳定圆轨道o 10.3 非束缚（散射）轨道o 10.4 渐近圆轨道o 10.5 衰减轨道 11 对测地线方程解的修正 12 轨道方程的理论力学推导 o 12.1 哈密顿-雅可比方法o 12.2 拉格朗日方法o 12.3 哈密顿原理 13 参考文献 o 13.1 引用o 13.2 书籍o 13.3 期刊文章
2、14 参见历史背景-爱因斯坦的直觉编辑参见：广义相对论的实验验证这里、是坐标、的任意函数。想象一个这样的世界其实并不困难，我们就生活在这样一个表面是弯曲的世界上，这也是无法精确描绘出一个平面的世界地图的原因。想要简明地描述这个世界的表面几何不适合采用笛卡尔坐标，比较简单的做法是球坐标系，这时的欧几里得几何中的距离表示为：进一步的想象可能会比较困难，但我们假设存在一个用来测量长度的尺子不再可靠的世界：尺子的长度会因其位置甚至摆放方向而改变。这是最一般的情况，在计算两点间距离时需要考虑交叉项的存在：这里九个函数等构成了空间的度规张量，它定义了黎曼几何框架下的空间几何。在球坐标系下交叉项不存在，它只
3、包含有三个非零的张量元素：在狭义相对论中，爱因斯坦就已经指出空间中两点的距离并不是恒量，而与观察者的运动（即惯性参考系）有关。狭义相对论指出在任何惯性系下观测到的恒量是两点间的时空间隔，这个间隔被称作固有时。固有时是一个相对论不变量，它与惯性参考系无关。在球坐标下这可以写成这些公式都可以看作是毕达哥拉斯定理的自然推广，它们仅在时空曲率为零时成立。但在广义相对论的框架下，时间和空间都可以是弯曲的，这时的时空间隔需要写成更一般的形式：这里的度规取决于时空中发出引力的质量、动量和能量，描述这一关系的是爱因斯坦的引力场方程。爱因斯坦的引力理论不仅和当时已知的物理定律相容，它还成功预言了很多从未观测到的
4、物理现象，这些现象至今仍然不断被实验观测所证实。史瓦西几何编辑爱因斯坦场方程的解的最简单形式是史瓦西度规，它对应着一个不带电荷和角动量的球对称的质量的引力场，其形式为：其中， 是固有时； 是光速； 是时间坐标； 是球面的径向坐标； 是球面的纬度坐标； 是球面的经度坐标； 是中心质量的史瓦西半径，其关系为牛顿经典力学下引力的传播速度无限大，与光速无关：这可以看作是在经典近似下史瓦西半径趋于零，这时的史瓦西度规还原为狭义相对论的形式。在一般情形下，史瓦西半径总是非常小的，例如地球的史瓦西半径只有9毫米，而一颗人造卫星的同步轨道半径是它的四十亿倍，为42164千米。即使是在地球表面，广义相对论对牛顿
5、引力的修正也只有十亿分之一。然而在宇宙中的致密星体如黑洞和中子星的周围，广义相对论的效应就变得非常明显。测地线方程编辑根据广义相对论，质量可忽略的粒子在引力场中沿着测地线运动。在无引力的平直时空中，测地线是直线；但当时空存在弯曲时，测地线由下面的测地线方程描述3：这里是克里斯托费尔符号而变量是一个将粒子在时空中的轨迹即世界线参数化的参量。克里斯托费尔符号只和度规对坐标的一阶偏导数有关（即描述了度规如何随坐标变化）。对于类时的轨迹（有质量的粒子，速度小于光速）而言，参数一般取作固有时；而对于类光的轨迹（无质量的粒子，速度为光速）固有时为零，因此严格来讲不能将固有时用作参数；不过类光可以看作是类时
6、的极端相对论情形，有时从而可以通过取极限的方法，从类时的轨迹导出粒子质量为零时类光的轨迹，并保持总能量不变。在度规具有对称性的场合下我们往往可以将问题简化。例如史瓦西度规是关于平面对称的，任何起始于这一平面上测地线的粒子将保持在这一平面上运动。因此我们总可以认为粒子的轨道保持在这一平面上，即纬度坐标恒等于，这时的史瓦西度规简化为从这个形式可得到两个运动的守恒量，单位质量的角动量和单位质量的能量（参见下文注释）将这两个守恒量代入史瓦西度规中得到粒子的运动方程通过角动量的定义，得到如下替换关系可消去式中的固有时这样就得到了粒子的轨道方程其中的两个长度参数、的定义为利用最小作用量原理4或哈密顿-雅可
7、比方程5可得到相同形式的轨道方程（见后文），轨道方程的解为光线在太阳引力场中偏折的近似公式编辑1919年亚瑟爱丁顿爵士所测量的星光在太阳引力场中的偏折实验使得广义相对论在全世界范围内被广为接受对于上面的史瓦西度规中的粒子轨道方程，当粒子质量趋于零（或长度参数趋于无穷大）时，轨道方程的解变为如下形式：将此式按的幂指数展开，得到的领导项给出了一个来自无穷远处的无质量粒子在史瓦西引力场中的运动角度近似偏移量（其后这个粒子仍然向无穷远处运动）这里长度参数可理解为粒子在运动过程中距中心质量的最近距离。尽管这个公式是通过相当的近似得到的，在大多数有关引力透镜的测量中它都相当精确，这是因为对大多数星体而言都
8、很小。对于掠过太阳表面的光子，其角偏移量大约只有1.75角秒。和经典力学的关系编辑从上面得到的史瓦西度规中的粒子运动方程可通过代入史瓦西半径的定义得到这个运动方程相当于一个质量为的粒子在一个一维势阱中运动，其有效势能为式中前两项是经典力学的结果：第一项是牛顿引力势能（负值表示吸引），第二项是具有排斥效应的离心势能；而第三项仅在广义相对论中存在，它代表的是一个与距离立方成反比的吸引势能。从后文或其他文献中可以看到，这种立方反比势能造成了粒子运动周期中椭圆轨道的逐渐相对论进动，每个周期内进动的角位移为其中是椭圆的半长轴，是偏心率。在很小时，由于是立方反比关系第三项起主导作用，这决定了一个关键性的最
9、内稳定圆半径，如果粒子一旦处于小于这个半径的范围内，它最终会不可避免地向内坠入。这个最内半径是单位质量的角动量的函数，即上面定义的长度参数。圆轨道和其稳定性编辑不同角动量对应的有效径向势能。半径很小时，势能迅速下降，这使得粒子向坠入。不过，当归一化的角动量等于时，一个处于亚稳态的圆规道是可能的，在图中用绿圈标记。对于更高的角动量，由于离心势能的存在会有不稳定的圆规道出现，在图中用红圈标记。如果使用长度参数，有效势能可写成如下形式：当有效力为零时，得到粒子的圆规道：有效力为零的含义即为吸引力（牛顿引力加广义相对论的立方反比引力）和排斥力（等效的离心力）恰巧平衡。在两个半径上可以满足这种平衡条件，
10、它们被记为和其中靠内的半径对应的圆规道是不稳定的，这个原因在上面已经提到：由于当很小时，立方反比项增长速度远大于其他两项，这个引力将把粒子强烈地吸引到引力场中心处。而靠外的半径对应的圆规道是稳定的，这是因为在那附近立方反比项并不显著，系统基本可近似为一个非相对论的开普勒系统。当长度参数远大于史瓦西半径时（经典极限），这两个圆轨道半径公式近似为稳定轨道与不稳定轨道的半径关于归一化角动量的曲线，分别用蓝色和红色标出。两条曲线在归一化角动量等于处相交，图中用绿圈标出。作为比较，从向心加速度和牛顿万有引力定律得到的经典半径用黑色曲线画出。将和的定义代入，就得到了粒子围绕中心质量公转的有心力问题这里是粒
11、子的角速度。这个公式可以直接在经典理论下让惯性离心力等于牛顿万有引力得到如果使用广义相对论中的记法，经典的角速度等于在另一种情形下，当由上逐渐逼近时，这两个圆轨道半径重合为一个值：上面给出的和的二项式解保证了总是大于的，而总是在和的范围内。半径小于的圆轨道是不能存在的。对于无质量的粒子，长度参数为无穷大，例如对于光子可以存在一个的圆轨道，这个半径所构成的球有时被称作光子球。椭圆轨道进动的推导编辑在非相对论开普勒问题中，粒子永远沿着同样的椭圆轨道运动（红色轨道）。广义相对论引入了第三种力的作用，这种力对粒子的吸引比牛顿引力稍强，特别是在轨道半径很短的情形。这种力使行星的椭圆轨道产生进动（蓝色轨道
12、），现在实验上已经测量了水星、金星和地球的相应进动。图中黄色的点表示轨道的中心质量，例如太阳。从史瓦西几何中得到的径向有效势能可以推出轨道的进动速度。首先，圆轨道的一个微小的半径变化会造成在上的稳定的谐振动，其振动的角频率为用有效势能的形式代入并求二阶导数，两边开平方并作二项式展开：而后再乘以公转的周期就得到了在一个周期内的轨道进动的角位移这里我们用到了以及长度参数的定义。代入史瓦西半径的定义得到根据开普勒第三定律，使用椭圆的半长轴和偏心率可以简化这个公式，开普勒第三定律在这里可以写为这样就得到了上面看到的进动角位移公式使用椭圆函数的圆轨道的解编辑轨道方程可以通过引入一个无量纲量来化简：这时轨
13、道方程可表示为这里的无量纲系数、由下式给出这个微分方程的解为其中无量纲量，这里是参数为和的魏尔施特拉斯椭圆函数，是一个积分常数（可以是复数）。可能轨道的定性分析编辑对于轨道方程如果右边三次多项式的判别式 大于零，则三次方程有三个实根，、，将它们按从大到小排列在此情形下，方程的解是一个具有两个半周期的椭圆函数，其中一个完全是实的：而另一个完全是虚的：剩下的那一个根对应着一个复数的半周期2 = -1 - 3。这三个半周期通过方程与对应的三个根相联系，方程中可以等于1、2、3。因此如果被设置为等于其中任何一个半周期，的导数就为零，这对应着一个近星点或远星点：由于可以看到等于根时，导数的值为零。不同轨
14、道的定性性质取决于的选取。等于的解对应着在和之间周期性变化的轨道，或者是散射到无穷远处的轨道（）。而等于或任何其他实数对应着衰减至半径等于零的轨道，这是由于作为一个实数时不能小于，结果就不可避免地增长至无穷大。准椭圆轨道编辑在系统能量满足不等式E2 m2 c4的前提下，等于时方程的解给出了一个实数的值。对于这类解，变量的值被限制在和之间。如果这两个根都大于-1/12，将不会等于-1/12，也就不会产生半径趋于无穷大的散射轨道。因此这类解对应着一个逐渐进动的椭圆轨道，当粒子（或行星）从起始状态开始演化时，其半径在最小半径和最大半径之间振荡，分别为它们分别对应着的两个极值。魏尔施特拉斯椭圆函数的实
15、数周期为，因此当粒子进动了的角位移后将回到与先前相同的半径，椭圆轨道处于进动状态（注意一般来说不等于，但两者的差值即每个轨道周期内进动的角位移很小）。稳定圆轨道编辑这是2e2 = 2e3 = e1的特殊情形，即方程有两个根相等并且是负值，而第三个根是正值。在这种情况下有两个相同的实根e = e2 = e4，这个解对应着经典的圆轨道，即上面得到的半径为的轨道，并且我们看到一定大于。这样的圆轨道之所以稳定，是因为对方程参数的一个微扰只会让这两个实根略微不等，从而得到准椭圆轨道解。例如对处于稳定圆轨道上粒子的一个微小扰动会将它推到准椭圆轨道上去并逐渐开始进动。非束缚（散射）轨道编辑轨道半径趋于无穷大对应着粒子飞向无限远处，这时等于-1/12。这样的非束缚轨道对应着两个实根的值分别落在-1/12两侧，即 e2 1/12 e3。渐近圆轨道编辑当-e3 = 2e2 =
