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1、http:/- 10 -【知识精读】如何做几何证明题1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1） 综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2） 分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3） 两头凑法：将分
2、析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离， 最后达到证明目的。3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角
3、形的判定与性质等也经常用到。例 1.已知：如图 1 所示， DABC 中，C = 90 ，AC = BC，AD = DB，AE = CF 。求证：DEDFDA ECFB图1分析：由DABC 是等腰直角三角形可知， A = B = 45 ，由 D 是 AB 中点，可考虑连结 CD，易得CD = AD ， DCF = 45 。从而不难发现DDCF DDAE证明：连结 CDQ AC = BC A = BQ ACB = 90 ，AD = DB CD = BD = AD，DCB = B = AQ AE = CF，A = DCB，AD = CD DADE DCDF DE = DF说明：在直角三角形中，作斜
4、边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为 CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长 ED 到 G，使DGDE，连结 BG，证 DEFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2. 已知：如图 2 所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EFEABCDF图2证明：连结 AC在DABC 和DCDA 中，Q AB = CD，BC = AD，AC = CA DABC DCDA (SSS) B = DQ AB = CD，AE = CF BE = DF在DBCE 和DDAF 中，BE =
5、DFQ B = DBC = DA DBCE DDAF (SAS) E = F说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1） 制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2） 添辅助线能够直接得到的两个全等三角形2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于 90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例 3. 如图，ABC=ADC，BF 和 DE 分别平分ABC 和ADC，1=2，证明：DEFB证明：ADC=ABC，且2=ADE，
6、CBF=ABF，故2=ABF， 又2=1，因此1=ABF，DEBF.例 4. 已知：如图 4 所示，ABAC， A = 90 ，AE = BF，BD = DC 。求证：FDEDAFE2 31BDC图4证明一：连结 ADQ AB = AC，BD = DC 1 + 2 = 90 ，DAE = DABQ BAC = 90 ，BD = DC BD = AD B = DAB = DAE在DADE 和DBDF 中，Q AE = BF，B = DAE，AD = BD DADE DBDF 3 = 1 3 + 2 = 90 FDED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助
7、线。3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例 5.已知：如图 6 所示在DABC 中， B = 60 ，BAC、BCA 的角平分线AD、CE 相交于 O。求证：ACAECDBEOD142536FAC图6分析：在 AC 上截取 AFAE。易知 DAEO DAFO ， 1 = 2 。由B = 60 ， 知5 + 6 = 60 ，1 = 60 ，2 + 3 = 120 。 1 = 2 = 3 = 4 = 60 ，得：DFOC DDOC， FC = DC证明：在 AC 上截取 AFAEQ BAD = CAD，AO = AO DAEO D
8、AFO (SAS) 4 = 2又B = 60 5 + 6 = 60 1 = 60 2 + 3 = 120 1 = 2 = 3 = 4 = 60 DFOC DDOC ( AAS) FC = DC即 AC = AE + CD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例 6. 已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中，F 在 DC 上，E 在 BC 上， EAF = 45 。求证：EFBEDFA312D FGB EC图7分析：此题若仿照例 1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长 CB 至G，使 BGDF。证明：延长 C
9、B 至 G，使 BGDF在正方形 ABCD 中， ABG = D = 90 ，AB = AD DABG DADF (SAS) AG = AF，1 = 3又EAF = 452 + 3 = 45 2 + 1 = 45即GAEFAE GE = EF EF = BE + DF【实战模拟】1. 已知：如图 11 所示， DABC 中， C = 90 ，D 是 AB 上一点，DECD 于 D，交1BC 于 E，且有 AC = AD = CE 。求证： DE =CD2CEADB图112. 已知：如图 12 所示，在DABC 中， A = 2B ，CD 是C 的平分线。求证：BCACADADBC图123. 已
10、知：如图 13 所示，过DABC 的顶点 A，在A 内任引一射线，过 B、C 作此射线的垂线 BP 和 CQ。设 M 为 BC 的中点。求证：MPMQQMABCP图13【试题答案】1. 证明：取 CD 的中点 F，连结 AF41F3ECADBQ AC = AD AFCD AFC = CDE = 90又1 + 4 = 90 ，1 + 3 = 90 4 = 3Q AC = CE DACF DCED ( ASA) CF = ED DE = 1 CD22. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长
11、的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。EADBC证明：延长 CA 至 E，使 CECB，连结 ED在DCBD 和DCED 中，CB = CEQ BCD = ECDCD = CD DCBD DCED B = EQ BAC = 2B BAC = 2E又BAC = ADE + E ADE = E， AD = AE BC = CE = AC + AE = AC + AD3. 证明：延长 PM 交 CQ 于 RQRMABCPQ CQAP，BPAP BP / /CQ PBM = RCM又 BM = CM，BMP = CMR
12、DBPM DCRM PM = RM QM 是 RtDQPR 斜边上的中线 MP = MQ“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, people who learn to learn are very happy people. In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with
