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2、表达式，把它用、和来表示。（b）应用对（a）问的答案以及生产函数，求均衡增长路径上的表达式。求最大化均衡路径产出的的值。答：（a）关于产出和知识的生产函数为： （1） （2）在均衡增长路径上， （3）对（2）两边除以，即： （4）将（3）（4）联立得：上式简化为： （5）（b）将（5）代入（1）得：两边取对数，可得：一阶条件为：经过简单的数学运算求： （6）值越大，新知识在生产函数中的作用越大。值越大，劳动在生产函数中的作用越大，需要雇佣越多的劳动。3.2 考虑两个经济（用表示），这两个经济由和描述，其中。假设两个经济中的初始值相同，但是。证明是连续增加的。证明：将产出函数代入资本累积方程得：
3、， （1）在方程（1）两边同时除以以求出资本增长率的表达式，即： （2）对方程（2）求导数，求出资本增长率的增长率，即： （3）方程（3）简化为： （4）如图3-1所示。图3-1 资本增长率由于，所以总是保持增长。的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如方程（2）所示。因此，即使两个经济中的初始值相同，只要，则两个经济的初始资本存量的增长率便不同。由方程（3）可知，的增长率是由决定的。因此，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。因此，对于所有的，有 ，并且两个国家的差距会越来越大。将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即： （5）对方程（5）两边取对数，然后求导，
4、得： （6）由方程（6）可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的，都有成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出的比率将持续上升，并且以递增的速率上升。3.3 考虑第3.3节中分析的经济。假设，且经济处于均衡增长路径上。说明以下各种变化如何影响线和线，以及变化发生时经济在空间上的位置：（a）增加；（b）增加；（c）增加。答：（a）增加线和线由下式给出： （1） （2）资本和知识的增长率公式为： （3） （4）从方程（1）可以看出，对于给定的，由于增加，满足的变大了，线向上移动；从方程（2）可以看出，由于增加，对于给
5、定的，满足的变小了，因此向下移动，如图3-2所示。图3-2 增加对与的影响由于并没有出现在方程（3）中，因此没有随着的增加而向上移动。同理，由于并没有出现在方程（4）中，没有随着的增加而向上移动。（b）增加由于并没有出现在方程（1）和（2）中，因此线和线随着的增加都没有变化。在方程（3）中，增加引起资本的增长率向下移动。在方程（4）中，增加引起知识的增长率向上移动。因此经济向点移动，如图3-3所示。图3-3 增加对与的影响（c）增加因为没有出现在方程（1）中，因此没有随着增加而变化；因为出现在方程（2）中，因此变的更加平坦；因为没有出现在方程（3）中，因此资本的增长率没有变化；因为出现在方程（
6、4）中，需要判断增加的效果，可以发现增加可能会导致向上、向下或保持不变，如图3-4所示。图3-4 增加对与的影响对方程（4）两边取对数，即：上式两边对求导，可得： （5）因此，如果小于1，则，随着增加，知识增长率向下跳动；如果大于1，则，随着增加，知识增长率向上移动；如果等于1，则，不发生变化。这意味着向的动态调整可能会依赖于随着增加的的值。3.4 考虑教材第3.3节中描述的经济，并假定且。假设经济最初处于均衡增长路径上，且发生持久性的增加。（a）如果这种变化影响和曲线，那么它将怎样产生其影响?这种变化如何影响变化发生时经济在空间上的位置？（b）增加后，和的动态学是什么？画出每工人的对数平均产
7、出的路径。（c）直观上，增加的影响与其在索洛模型中的影响有何不同？答：（a）和的方程分别为： （1） （2）资本和知识的增长率公式分别为： （3） （4）因为没有出现在方程（1）和（2）中，因此随着的增加，和没有发生变化。同样，在（4）中也没有出现，因此，随着的增加，知识的增长率不发生变化。不过，随着的增加，资本的增长率会向上移动。如图3-5所示，经济从均衡增长路径上的点向点移动。图3-5 的持久性增加对和的影响（b）在点，经济位于曲线之上，因此会上升，因为的增加，资本的增长率提高了，资本进入知识生产函数的数量提高了，因此知识的增长率提高了。在点，经济位于曲线之上，因此下降了，经济会到达东南，
8、并最终会绕过的曲线，从而也开始下降。因为资本和知识的规模报酬递减，即，所以的增加对于和的增长率没有持久效应。经济最终会返回到点。生产函数为： （5）对方程（5）两边先取对数再求导数，从而求得增长率，即： （6）在初始的均衡增长路径上，由（1）可得：，将其代入方程（6）可知，总产出也是以的速度增长。因此，人均产出在初始的均衡增长路径上以的速度增长。在过渡时期，和的增长率都变大，因此人均产出的增长率也变大。图3-6中显示了人均产出的增长率开始先增加而后又减少。不过，重要的一点是在过渡时期，增长率本身高于均衡增长路径上的。最终，一旦经济返回到稳定点，人均产出的增长率再次为。图3-6 人均产出的变化（
9、c）在本模型中，储蓄率增加的效应与索洛模型中的影响比较相似。因为规模报酬递减，因此储蓄率的增加只有水平效应。人均产出的路径位于原先的路径之上，人均产出的增长率，不过对于人均产出的增长率没有持久效应，在均衡增长路径上，人均产出的增长率等于知识的增长率。这一点与索洛模型中资本的规模报酬递减有相似之处。从数量上讲，增长效应大于索洛模型，这是因为的增长率提高后便为既定，这与索洛模型不同。3.5 考虑第3.3节中且时的模型。 （a）应用（3.14）和（3.16），求使得和相等时的取值。（b）应用对（a）部分的答案，求当时和的增长率。（c）的增加如何影响经济的长期增长率？（d）取什么值时可最大化经济的长期
10、增长率？直观上，为什么该值不随递增（表示资本在研发部门中的重要性）？答：（a）资本的增长率为： （1）其中，知识的增长率为： （2）其中，。假设和，方程（1）（2）可简化为： （3） （4）因此，给定模型的参数和人口增长率，决定了和两个增长率。使和相等，即：进一步简化为： （5）（b）令，将（5）代入（3）得：上式简化为：即： （6）（c）将和代入（6）中，可得： （7）对（7）求自然对数得： （8）利用方程（8）求经济长期增长率对储蓄率的弹性，即： （9）因此储蓄率的增加会导致经济长期增长率的增加。这是因为储蓄率的增加导致更多的资本被投入到生产中，而生产函数是规模报酬不变的。（d）通过对求导
11、来判断资本用于研发部门的比例以最大化经济的增长率。一阶条件为：求解最优的：，因此有： （10）在研发部门使用的最优的资本份额为劳动的产出弹性。可以发现知识生产函数的资本份额并不影响研发部门使用的最优的资本份额。这是因为增加有两个效应：一方面它使得资本在研发部门更加重要，因而倾向于提高；同时，增加也使得新资本的生产更有价值，当更多的产出被储蓄和投资时，新资本就生产出来。这倾向于降低，因为这意味着更多的资源被投资于产出的生产而不是知识的产出，此处两种效应正好抵消。3.6 考虑第3.3节中且的模型。（a）画出这种情形的相图。（b）证明：无论经济的初始条件如何，、（以及的增长率）连续地增加。（c）在且
12、的情形下，讨论（a）和（b）的要求。答：（a）由教材中（3.15）式可得，资本增长率的增长率为： （1）由（1）式可知，所表示的轨迹为： （2）由（2）式可知，在平面上，所表示的轨迹是一条斜率为1且纵截距为的直线，如图3-7所示。此外，当（即位于这条直线下方）时，将增加；当（即位于这条直线上方）时，将减小。图3-7 的相图由教材中（3.17）式可得，知识增长率的增长率为： （3）由（3）式可知，的轨迹方程为： （4）由（4）式可知，在平面上，所表示的轨迹是一条斜率为且纵截距为的直线，如图3-8所示。此外，当（即位于这条直线上方）时，将增加；当（即位于这条直线下方）时，将减小。图3-8 =0的相图由于且，所以所示的直线的斜率大于所示直线的斜率，两条直线的相对位置如图3-9所示，不再相交。图3-9 且时经济的动态（b）和的初始值是由模型中的参数和、的初始值所决定的。如图3-9所示，不论经济始于何处，它最终将进入直线与之间的区域。一旦经济进入该区域，和的增长率将不断提高，从而总产出以及总产出增长率也将不断增加。（c）当且时，直线与将有相同的斜率，且所示的直线将位于所示直线的上方。此时经济的动态与且时的情形类似，如图3-10所示。不论经济始于何处，它最终将进入直线与之间的区域。一旦经济进入该区域，资本、知识和产出的增长率将不断提高。图3-10 且时经济
