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1、教师用2014、8、11 周一 全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另
2、一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延
3、长线段与原中线长相等，构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线
4、，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.解：延长AD至E使AE2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值范围是1AD4例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG2EF，连BG，EG,显然BGFC，
5、在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故：EFBE+FC例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 解：延长AE至G使AG2AE，连BG，DG,显然DGAC， GDC=ACD由于DC=AC，故 ADC=DAC在ADB与ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量
6、关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC解：（截长法）在AB上取中点F，连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC2、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC解：（截长法）在AB上取点F，使AFAD，连FEADEAFE（SAS）A
7、DEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE（AAS）故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图，已知在ABC内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BDBP，连DP在等腰BPD中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACP（ASA）故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 解：（补短法）延长BA至F，使BFBC，连FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB ，FD
8、DC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解：（补短法）延长AC至F，使AFAB，连PDABPAFP（SAS）故BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+
9、BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、在ABC中，ABAC.求证：BC(答案与解析)证明：作A的平分线，交BC于D，把ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合. 在ADC与ADE中 ADCADE（SAS） AEDC AED是BED的外角， AEDB，即BC.(点评)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,则BAC+BCA
10、=120度;AD,CE均为角平分线,则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.则COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.3、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，
11、DCDG垂直平分BC，故BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFC（HL）故有BECF。AB+AC2AEAE（a+b）/2BE=(a-b)/2五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交B
12、C,CA于点E,F。(1)当绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)（1）连接DC， D为等腰斜边AB的中点，故有CDAB，CDDACD平分BCA90，ECDDCA45由于DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有DE=DF（2）SABC=2, S四DECF= SACD=1应用：如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CEBMABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC
