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1、新经济学论文-论微积分在经济分析中的应用摘要：微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。 关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值 1导数在经济分析中的应用 1.1边际分析在经济分析中的的应用 1.1.1边际需求与边际供给 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函
2、数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。 1.1.2边际成本函数 总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C=C(Q)C(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C(Q0)个单位。 1.1.3边际收益函数 总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R=R(Q) R(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R(Q0)个单位。 1.1.4边际利润函数 利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q
3、);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q).L(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L(Q0)个单位。 例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。 解：每月生产Q吨产品的总收入函数为： R（Q）=20Q L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20） =-Q2+30Q-20 L(Q)=(-Q2+30Q-20)=-2Q+30 则每月生产10吨、15吨、20吨的边际
4、利润分别为 L(10)=-210+30=10（千元/吨）； L(15)=-215+30=0（千元/吨）； L(20)=-220+30=-10（千元/吨）； 以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。 显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？ 1.2弹性在经济分析中的应用 1.2.1弹性函数 设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量yy=f(x+x)-f(x)y与自变量的相对改变量xx之比，当x0时的极限称为函数y=f(x)
5、在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limx0 yyxx=limx0yxxy=f(x)xf(x) 在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。 1.2.2需求弹性 经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。 对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，P与Q异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为(p)=-f(p)pf(
6、p) 例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。 解：(1)(p)=-f(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5； (2)(3)=35=0.6;(5)=55=1;(6)=65=1.2 (3)=0.61，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。 1.2.3收益弹性 收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即 R=PQ=Pf(p) R=f(p)+pf(p)=f(p)(1+f(p)pf(p)=f(p)(1-) 所以，收益弹性为EREP=R(P).PR(P)=f(p)(1-)ppf(p)=
7、1- 这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。 （1）若0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-)%； （2）若1，则EREP0,n0,p0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。 解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C=2mx-n 令C，得x=n2m，而C(x)=2m0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。 （2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C(x)=3mx2-2nx+p，C(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)
8、+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。 1.3.2最大利润问题 例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q 收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000 则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000 L(Q)=-1500Q+40,令(Q)=0得Q=20000 L(Q)=-15000Q=2000时L最大，L（2000）=340000元 所以生产200
9、00个产品时利润最大，最大利润为340000元。 2积分在经济中的应用 在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。 例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。 解:总成本函数为 C(x)=x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000 总收益函数为R(x)=500x 总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L=400-2x，令L=
10、0，得x=200，因为L(200)0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400200-2002-1000=39000（元）。 在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。 综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。 参考文献 1聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）. 2顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用.职业圈，2007,（4）. 3李春萍.导数与积分在经济分析中的应用.商业视角，2007,（5）. 4褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用.枣庄学院学报，2007,（10）.
