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1、经济数学基础应用题1.设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量为多少时，平均成本最小？解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p（q为需求量，p为价格）。试求：1）成本函数，收入函数；2）产量为多少吨时利润最大？解 1）成本函数C（q）=60q+2000.因为q=1000-10p，即p=1
2、00-，所以收入函数R（q）=pq=（100-）q=100q-（2）因为利润函数L（q）=R（q）-C（q）=100q-（60q+2000）=40q-2000且(q)=（40q-2000）=40-0.2q令（q）=0，即40-0.2q=0，得q200,它是L（q）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，又已知需求函数q=2000-4p，其中p为价格，q为产量。这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润。解：C（p）=50000+100q=50000+100（2000-4p）=250000
3、-400pR(p)=pq=p（2000-4p）=2000p-4 利润函数L（p）=R（p）-C（p）=2400p-4-250000，且另（p）=2400-8p=0 得p=300，该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。最大利润L（300）=2400300-4-250000=11000（元）4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解：由已知收入函数 利润函数 于是得到 令，解出唯一驻点 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时
4、可使利润达到最大且最大利润为 （元） 5.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C（q）=0.5+36q+9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解：因为（q）=0.5q+36+（q0）（q）=（0.5q+36+）=0.5-另（q）=0，即0.5-=0，得=140，=-140（舍去）=140是（q）在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值。所以=140是平均成本函数（q）的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件，此时的平均成本为（140）=0.5140+36+=176（元/件）6. 设某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为（万元/
5、百台）试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 =令 ， 解得所以当时可使平均成本达到最小7.生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为=100-2q（万元/百台），其中q为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：= (100 2q) 8q =100 10q 令，得 q = 10（百台） 又q = 10是L(q)的唯一驻点，故q = 10是L(q)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 即从利润最大时的产量再生产2百台，利
6、润将减少20万元. 8. .已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 当= 0时，C(0) = 18，得 c =18，即 C()= 又平均成本函数为 令 ， 解得= 3 (百台) 所以当q= 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 9. .设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中q为产量，单位：百吨销售q百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 令，得q = 7 由q= 7为
7、利润函数L(q)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 （万元）即当产量由7百吨增加至8百吨时，利润将减少1万元 10.已知某产品的边际成本（q）=2（元/件），固定成本为0，边际收入（元/件），求：（1）产量为多少时利润最大？（2）在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将发生什么变化？解：（1）因为边际利润=12-0.02q-2=10-0.02q令，得q=500. q=500是唯一驻点，而该题确实存在最大值点，即当产量为500件时利润最大。（2）当产量由500件增加至550件时，利润改变量为=500-525=-25（元）即产量由500件增加至550件时，利润将减少25元。11. 已知某厂生产q件产品的成本为C（q）=250+20q+（万元）.为使平均成本最低，应生产多少件产品？解：因为 =令，即=0，得=50，=-50（舍去）=50是在其定义域内的唯一驻点，所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品。
