2019高考数学专题训练 圆锥曲线中的综合问题 含解析

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1、2019高考数学专题训练 圆锥曲线中的综合问题 含解析专题限时集训(十)圆锥曲线中的综合问题(建议用时:60分钟)1(2018北京模拟)已知椭圆C:x2a2y2b21(ab0)的离心率为22,且过点1,22.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A,B两点,直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数若直线l2与椭圆交于E,F两点且均不与点A,B重合,设直线AE与x轴所成的锐角为1,直线BF与x轴所成的锐角为2,判断1与2的大小关系并加以证明解(1)由题可得ca22,1a2222b21,a2b2c2,解得a2b1c1.所以椭圆C的方程为x22y21.(2)结论:1

2、2,理由如下:由题知直线l1斜率存在,设l1:yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)联立yk(x1)x22y22,消去y得(12k2)x24k2x2k220,由题易知0恒成立,由根与系数的关系得x1x24k212k2,x1x22k2212k2,因为l2与l1斜率相反且过原点,设l2:ykx,E(x3,y3),F(x4,y4),联立ykxx22y22消去y得(12k2)x220,由题易知0恒成立,由根与系数的关系得x3x40,x3x4212k2,因为E,F两点不与A,B重合,所以直线AE,BF存在斜率kAE,kBF,则kAEkBFk(x1x31)(x2x3)(x2x31)(x1x3)(

3、x1x3)(x2x3)k2x1x22x23x1x2(x1x3)(x2x3)k2(2k22)12k22212k24k212k2(x1x3)(x2x3)0,所以直线AE,BF的倾斜角互补,所以12.2(2018枣庄模拟)已知抛物线C:y22px(0p1)上的点P(m,1)到其焦点F的距离为54.(1)求C的方程;(2)已知直线l不过点P且与C相交于A,B两点,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,证明:l过定点解(1)由题意,得2pm1,即m12p.由抛物线的定义,得|PF|mp212pp2.由题意,12pp254,解得p12,或p2(舍去)所以C的方程为y2x.(2)证明:设直线PA的斜率为k(显

4、然k0),则直线PA的方程为y1k(x1),则ykx1k.由ykx1ky2x消去y并整理得k2x22k(1k)1x(1k)20.设A(x1,y1),由根与系数的关系,得1x1(1k)2k2,即x1(1k)2k2.y1kx11kk(1k)2k21k11k.所以A(1k)2k2,11k.由题意,直线PB的斜率为1k.同理可得B11k21k2,111k,即B(k1)2,k1)若直线l的斜率不存在,则(1k)2k2(k1)2.解得k1,或k1.当k1时,直线PA与直线PB的斜率均为1,A,B两点重合,与题意不符;当k1时,直线PA与直线PB的斜率均为1,A,B两点重合,与题意不符所以,直线l的斜率必存

5、在直线l的方程为y(k1)k(k1)2x(k1)2,即yk(k1)2x1.所以直线l过定点(0,1)3(2018郑州模拟)已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x1相切(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B、C两点,求ABC面积的最大值解(1)由题意可知点E到点F距离等于点E到直线l距离,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x1为准线的抛物线,故:曲线G的方程是y24x.(2)设直线l的方程为yxm,其中3mb0)的离心率与双曲线x24y2121的离心率互为倒数,且过点P1,32.(

6、1)求椭圆C的方程;(2)过P作两条直线l1,l2与圆(x1)2y2r2(0r32)相切且分别交椭圆于M、N两点求证:直线MN的斜率为定值;求MON面积的最大值(其中O为坐标原点)解(1)可得e12,设椭圆的半焦距为c,所以a2c,因为C过点P1,32,所以1a294b21,又c2b2a2,解得a2,b3,所以椭圆方程为x24y231.(2)证明:显然两直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2),由于直线l1,l2与圆(x1)2y2r2(0r32)相切,则有k1k2,直线l1的方程为y32k1(x1),联立方程组yk1xk132,x24y231,消去y,得x2

7、(4k213)k1(128k1)x(32k1)2120,因为P,M为直线与椭圆的交点,所以x11k1(8k112)4k213,同理,当l2与椭圆相交时,x21k1(8k112)4k213,所以x1x224k14k213,而y1y2k1(x1x2)2k112k14k213,所以直线MN的斜率ky1y2x1x212.设直线MN的方程为y12xm,联立方程组y12xm,x24y231,消去y得x2mxm230,所以|MN|1122m24(m23)1524m2,原点O到直线的距离d|2m|5,OMN面积为S121524m2|2m|532m2(4m2)32m24m223,当且仅当m22时取得等号经检验,存在r(0r32),使得过点P1,32的两条直线与圆(x1)2y2r2相切,且与椭圆有两个交点M,N.所以OMN面积的最大值为3.

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