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1、2-2、由测量知道弹簧振子的固有频率是每秒50周，若将质量块的质量增大5g时，其固有频率变为每秒45周。试求弹性系数。解：2-3、一台机器为隔振而装在一组弹簧上，在平衡时由于机器的质量而使弹簧压缩了25mm。求竖直方向振动的角频率。解：，2-4、如题图2-4所示，由弦与质点块组成的振子。弦长l，受张力固定于两端。质点块质量m距两端各为a和b。当质点引离平衡位置x时（），试问（1）m远大于弦的质量时，质量块所受恢复平衡力等于什么？（2）这时突然去掉外力，使之作垂直于弦平衡方向振动，其最低固有频率为多少？当改变质点位置a为何值时，其振动频率值最低。解：设张力为T，由于故有：；（1）所以： （2）撤
2、离外力，所以：；而最低固有频率： 即 最小值，即分母最大值，即最大值点，所以对a求导有：代入上式得到：2-6、在一弹性系数为k的弹簧上加一重物M组成一振动系统，其固有频率为。（1）若使系统的改变，可采用什么办法？（2）若重物加重一倍而使保持不变。试问应添加几只弹簧？如何连接？（3）若重物减轻一半但频率不变，应增加几只弹簧？如何连接？解：（1），改变k或m可使系统的固有频率改变。（2），用两只弹簧并联MMkkMkk（3） ，用两只弹簧串联2-7、求出题图2-7中所示振动系统的固有频率。ablxm题图2-4MkkMMkMMkkk 双弹簧串连相接假设两根弹簧在质量m的重力作用作用下，产生的静态位移分
3、别为 和 ，于是每一弹簧所产生的弹力分别为 和 ，因为两根弹簧是串连相接每一根弹簧受到质量m的拉力都相等，且等于mg，因此根据静力学平衡条件可得： 双弹簧并连相接假设两根弹簧在质量m的重力作用作用下，产生的静态位移相同均为 ，于是每一弹簧所产生的弹力分别为 和 ，这时作用在质量m的上共有三个力，质量多重力和两根弹簧的弹力。因此根据静力学平衡条件可得：2-8、 由质量M和两只弹簧组成一振动系统。在弹性系数、原长的弹簧一端挂上质量M，另一端与弹性系数、原长的弹簧相连。试求：（1）弹簧另一端固定于天花板时，由于质量M受重力作用使系统长度变成多大？（2）若将此系统横在桌面上，弹簧一端固定在垂直墙壁上。
4、质量M于桌面无摩擦，系统作自由振动的固有频率是否改变？为什么？解：（1），系统总长（2）固有频率不变，为2-11、竖直悬挂的弹簧振子其质量块作无阻尼振动时的两个极端位置离一固定水平面的高度各为11.5cm和12cm，在5s内达到最高的位置15次。若质量块的质量为1g，试求其振动的频率、位移振幅和弹簧的弹性系数。解：振动的平衡位置距离该固定水平面的高度为位移振幅为12-11.75=-.25(cm)在5秒内达到最高位置15次，则频率为15/5=3(Hz)D1D2mD1D2m 0.3553(N/m)2-14、一弹簧振子作简谐振动时的振幅为A，试问当其振动的动能于弹性势能相等时的位移瞬时值为多大？解：
5、2-15、一质量块m能在水平作面上无摩擦地滑动。质量块连一条很轻的线，线穿过作面上的一个很小的孔并可无摩擦地滑动。线的另一端受恒力F向下拉。这质量块（比孔大，不会穿过小孔）开始时静止在离孔距离D处，然后运动。试列出质量块的运动方程并解之。运动与否是周期性的？如果是，求其频率，且频率与D有何关系？FxmD0解： 在右侧时运动方程为： ， 有： 此处； 当质量块运动到0点时所用的时间为： 此时速度： 由于惯性作用继续向前跑运行到左侧时运动方程为：；： 当质量块运动到顶点后返回，再次过0点时所用的时间为：（另一根舍去）此时速度为： 由于惯性作用过零点后继续跑FxmD0此时运动方程同中最开始时的运动方
6、程， ；此时：当质量块运动到顶点后返回，第三次过0点时所用的时间为：（另一根舍去）此时速度为： 由于惯性作用继续向前跑此时运动方程同第一次过零点后的运动方程相同（受力相同），就连初条件也相同，只是初始时间不同，所以可得：此时：可见其运动是周期性的。周期为 2-19、 试绘出弹簧振子系统位移的图形：2-31、试证：弹簧振子受迫振动中的位移振幅的低频极限值、速度共振时的速度振幅值及加速度振幅的高频极限值均与频率无关。解：假设弹簧振子受迫振动外力为：，弹簧弹性系数为D，质量块m，阻尼系数为Rm（1）则运动方程为： 令带入方程得位移响应为： 振幅： 位移振幅的低频极限值：与频率无关。（2）由位移响应可
7、得速度响应：其振幅为： 共振时：速度共振时的速度振幅值与频率无关。 （3）由速度响应可得加速度响应：其振幅为： 极高频时：加速度高频极限值与频率无关。2-32、在弹性系数为150N/m的轻质弹簧上挂一0.5kg的质量块，系统的阻力系数是1.4kg/s，系统所受外力 N。试求：（1）位移振幅、速度振幅和加速度振幅的稳态值；（2）一个周期内平均损耗功率；（3）系统的速度共振频率及其在此频率下的位移振幅、速度振幅、加速度振幅和一周期内的平均损耗功率（外加力的幅值同前）；（4）系统的品质因数及半功率点频带宽度。解：已知；N/m；kg/s又 N；由复数的运动方程：； （1） 可解得：位移稳态解的幅值响应
8、函数值： m速度稳态解的幅值响应函数值： m/s加速度稳态解的幅值响应函数值： m/s2（2） 由上可得： （3） 系统的速度共振频率为： Hz m m/s m/s2 W（4） Hz2-38、一质量块m固定在弹性系数为k的弹簧的下端，弹簧上端以振幅上下振动，质量块的摩擦力正比于质量块和弹簧上端的相对速度（），这里。试求质量块的运动方程，并证此质量块的稳态运动是 x落后于弹簧顶端位移的相角是x的振幅值等于什么？x的初相角和振幅在极低频率和极高频率时各等于什么？解：设摩擦力与速度的比例系数为则质量块所受摩擦力可表示为：而质量块所受的弹簧弹力为：因此有运动方程： 设稳态解代入上式得： 即得证。 顶端
9、位移为因此由公式可得：其中；x落后于顶端位移的相角为，即得证。 由上可知x的振幅为，相角为： 极低频率时：极高频率时：极低频率时：极高频率时：2-43、有如下的冲击力作用在弹簧振子系统的质量块上，试求此振动系统的位移响应函数。 解： 设弹簧弹性系数为D，质量块质量为m，则运动方程为 * 对*方程两侧作富丽叶变换有： 因为代入上式得：求其富丽叶反变换：m没k1k2mk1x1x212x1x22-46、如题图2-46有两个耦合振子。试求出：（1）耦合振动方程；（2）、各等于多少？（3）分别以和作简正振动时两质量块位移振幅的比值等于什么？（、为振子2或振子1固定不动时分振子的固有振动角频率； 为耦合系
10、统振动的固有角频率解：分析受力：（1）则对应运动方程为 令；代入式得到： K决定了振子2对两个振子1的耦合作用程度（2） 此方程组为二阶齐次线性微分方程组，它的解为指数形式：代入到式中得到：* 此特征方程式，有四个根：假设 即，有两个值，以、表示有： （3）由上可得方程的解为： 其中A+，A+，A-，A-，B+，B+，B-，B-有关系（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，并且这4个独立量由初条件确定。*式中取第一式有 ；以作简正振动时： 所以二者振幅之比为：，以作简正振动时，同理可得： 所以二者振幅之比为： 2-47、对于题2-46耦合系统，设在t=0以前有一振子维持在离平衡位置1cm
11、处，而另一振子维持在平衡位置上，在t=0时刻两者同时释放。（1）求出耦合系统作自由振动的位移解；（2）若系统的耦合系数时，证明：该系统两质量块的振动位移为： 解：（1）设x01=0.01m，x02=0， 得出：（2）系统的耦合系数即，所以有（应用泰勒级数展开）代入到上面求解的位移公式中得到：m如果单位为mm则得证由于第（3）问所要证明的结论有错误，所以（3）（4）两个问不用作2-49、对于题2-46的无阻尼耦合振子系统，设t=0时振子的初始位移和初始速度均为零，此时有一脉冲力作用在第一个质量块上，试求系统的位移响应函数。解：则对应运动方程为 令；代入式得到： K决定了振子2对两个振子1的耦合作
12、用程度对方程两边作拉普拉斯变换有 因为分别作拉氏反变换注释： （）应用公式：2-50、如题图2-50所示是一种减振装置称为动力吸尘器。大质量块M（例如是某个机器）由弹性系数为k1的弹簧支撑，在M上作用一线性策动力。如果加一辅助振子，质量为m，弹性系数为k2，所有振子都沿x方向振动，试证：M保持不动的条件是解：此系统机械简图为m没k1k2MF(t)x 导纳型机电类比图为： 阻抗型机电类比图为： 如果M保持不动，则其速度要为零，即要无穷大，即由此有即2-51、有一隔振台如题图2-51所示。已知台面的质量kg，台面由四组相同的弹簧支持，每组又是由两只相同的弹簧串联而成。若每只弹簧在承受负荷600kg
13、时产生静位移3cm，试求该隔振系统的固有频率？当外界基础振动的位移振幅为1mm、频率为20Hz时，隔振台M将产生多大的位移振幅？k1Mk1k1地 基k1k1k1k1k1解：（1）、由于每只弹簧承受负荷600kg时产生静位移3cm N/m而等效弹性系数为： N/m所以系统的固有频率为：Hz（2）、当外界基础振动的位移振幅为1mm、频率为20Hz时，即地基的振动位移为：M地 基2k1机械系统简图导纳型机电类比图；阻抗型机电类比图 m2-52、如题图2-52所示。机器的质量为M，机器运转时受到一个的作用。机器的振动通过弹簧传入机座。若定义力的传透率是T，即T=作用于机座的力/作用于机器的力=。（1）求证：力的传输率T可表示为 式中阻抗型机电类比图为： 解：机械系统
