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1、实际问题与一元一次方程中的等量关系遵义市第九中学 肖国刚在一元一次方程这一章的学习中，同学们对一元一次方程的解法普遍都能掌握。但只要涉及到用一元一次方程解决实际问题时，绝大部分同学却感到困难重重，找不到行之有效的解决办法。这其中关键问题在于同学们找不到这类实际问题中的等量关系，或也存在着找到了等量关系，无法用所设未知数的代数式表示等量关系两边的量。针对这一实际问题，帮助同学们寻找、分析实际问题中的等量关系显得十分重要，现结合教学实际和积累的经验，对一元一次方程与实际问题中出现的等量关系，进行分类概括总结，从而帮助同学们走出这一困境，进而达到举一反三、触类旁通的作用。一、 路程问题中的等量关系1
2、、 地面上的行程问题（1）路程、速度、时间的关系：路程=速度时间 （2）相遇问题：快行距+慢行距=总距（3）追及问题：快行距-慢行距=总距（4）注意事项：一定要分清是相向而行、同向而行、背向而行，还要注意出发时间、地点。（5）应用举例：例1、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，上午8点同地出发，到上午10点两人相距36千米，到中午12点整两人又相距36千米。求A、B的距离？分析：本题的等量关系是甲、乙两人的速度和不变。即从上午8点到上午10点甲、乙的速度和=从上午8点到中午12点甲、乙的速度和图示分析为解：设A、B的距离是千米， 2、 水面上的行程问题（1）船在顺水中航行问题顺流速度=静水
3、速度+水流速度（三者之间可作相应变换）（2）船在逆水中航行问题逆流速度=静水速度-水流速度（三者之间可作相应变换）（3）船在两码头之间航行问题顺流路程=顺流速度顺流时间；逆流路程=逆流速度逆流时间顺流路程=逆流路程（4）注意事项：抓住两码头之间的距离不变、水流速度、船在静水中速度不变的特点寻找等量关系。（5）应用举例例2、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度？分析：船无论在顺流中，还是在逆流中航行，船在静水中的平均速度总是不变的。本题的等量关系是甲、乙两码头之间的距离不变。即：顺流速度顺流时间
4、=逆流速度逆流时间解：设船在静水中的平均速度为千米/时， 3、 飞机在空中的行程问题（1）飞机在顺风中的航行问题顺风机速=无风机速+风速（三者之间可作相应变换）（2）飞机在逆风中的航行问题逆风机速=无风机速-风速（三者之间可作相应变换）（3）飞机在两城市之间的航行问题顺风路程=顺风速度顺风时间；逆风路程=逆风速度逆风时间顺风路程=逆风路程（4）注意事项：抓住两城市之间的距离不变、风速、飞机在无风时的确速度不变的特点寻找等量关系。（5）应用举例例3、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米/时，顺风飞行需要2小时50分；逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？分析：飞机无论在顺风、逆风中
5、飞行，无风机速都是一样的，两个城市之间的距离也是不改变的。因此，这个问题可直接设未知数，也可间接设未知数。用到的等量关系为：顺风路程=逆风路程，顺风中的无风机速=逆风中的无风机速。解一：设飞机无风机速为千米/时， 解出，代入方程任何一边即可求出两城市之间的距离。解二：设两城市之间的距离为千米， 二、 劳动力调配问题中的等量关系1、 已知甲、乙两处的人数，通过调配达到某种数量关系 甲处调出的人数=乙处调入的人数 甲处调配后的人数=甲处原来的人数-调出人数 乙处调配后的人数=乙处原来的人数+调入人数2、已知做甲、乙两种工作的总人数，如何调配人员使做甲、乙两种工作的工作量达到某种数量关系一项工程涉及
6、挖土或运土，使挖出的土被及时运走挖土的总立方米数=挖土的人数挖土的工作效率运土的总立方米数=运土的人数运土的工作效率挖土的总立方米数=运土的总立方米数一车间加工甲、乙两种零件，而生产甲、乙两种零件的工作效率不相等，要使生产出的个甲种零件与生产出的个乙种零件配套。生产甲的零件总数=生产甲的人数生产甲的工作效率生产乙的零件总数=（总人数-生产甲的人数）生产乙的工作效率生产甲的零件总数=生产乙的零件总数3、注意事项：调配对象流动的方向和数量4、应用举例：例4、某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土被及时运走，问：应如何安排挖土和运土的工人？分析
7、：如果设挖土的人数为人，则运土的人数应为（120-）人，本题的等量关系：挖土的总立方米数=运土的总立方米数解：设挖土的人数为人，则运土的人数应为（120-）人 5=3（120-）例5、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮酿成一套，问需分别安排多少名工人加工大齿轮、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：本题的等量关系是 生产大齿轮数量3=生产小齿轮数量2解：设安排名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套 316 =210（85-）三、 销售中盈亏的等量关系1、 常用到的等量关系标价=进价（1+提高率） 实际售价=标
8、价打折率利润=售价-进价 利润=成本（进价）利润率总售价-总进价0，则销售结果总的为盈利；总售价-总进价0，则销售结果总的为亏损。2、注意事项：打折就是按原售价的百分之10出售3、应用举例例6、某商户为减少库存积压，以每件120元的价格出售两件夹克上衣，其中一件赚20%，另一件亏20%，在这次买卖中商户是盈利还是亏损，或是不盈不亏？分析：要解决这一问题，关键在于求出这两件夹克上衣的进价分别是多少，从而才能求出总的进价，最后与总售价相比便知盈或亏。本题用到的等量关系是进价+利润=售价解：设赚20%的那件上衣的进价为元，亏20%的那件上衣的进价为元，依题意得，+20%=120， -20%=120分
9、别解得 =100， =150因此，1202-（100+150）=-10，所以，在这次买卖中商户亏损10元。例7、某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？分析：本题涉及的等量关系是，实际售价=标价打折率解：设售货员最低可以打折出售此商品， 四、 工程问题中的等量关系1、 常用到的等量关系 工作量=工作效率工作时间如果一项工程由甲、乙、丙完成，而甲、乙、丙的工作效率各不相同，那么经常用到的等量关系为甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=总的工作量2、 注意事项一般情况下，把总工作量设为1。3、 应用举例例8、一项工程，甲队单
10、独做需7天完成，乙队单独做需5天完成。现由甲队单独做1天后，乙队加入，则乙队做了几天后完成了这项工程？分析：本题的等量关系为甲单独做的工作量+合作时甲完成的工作量+合作时乙完成的工作量=1解：设乙队做了天后完成了这项工程 五、 积分问题中的等量关系1、 常用到的等量关系球队总积分=胜场总积分+负场总积分2、 生活中常见的积分问题 篮球比赛：分胜场和负场两种情况足球比赛：分胜场、平场和负场三种情况数学竞赛（测验）：分答对题、答错题、不答题三种情况3、 注意事项从比赛的规则入手，赛事的规定不同，得分也不一样，能够准确找出相等关系是列方程的关键。4、 应用举例例9、在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛
11、试题共有25道题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了多少道题？分析：本题可用方程和不等式解答，而此题与我们的实际情况不同，平时测试时不选或选错不得分，而本题的特殊之处在于除不得分外，还要倒扣2分，所以本题的等量关系为做对题目的得分-不选或错选倒扣的分数=60分。解：设他选对了道题 六、 数字问题中的等量关系1、 一个两位数如何用十位数字、个位数字表示设、分别为一个两位数的个位上、十位上的数字，则这个两位数可表示为2、 经常用到的等量关系原两位数=个位、十位交换
12、后的两位数-某个具体量（三者之间可作相应变换）3、 注意事项通常情况下，这类问题只能设间接未知数，设原两位数个位上的数字（十位上的数字）为4、 应用举例例10、一个两位数，十位数字与个位数字之和是11，把个位数字与十位数字对换后组成新的两位数，比原两位数小45，求原来的两位数？分析：此题有两个等量关系：十位数字+个位数字=11，原两位数=新两位数+45，用一个等量关系来设未知数之间的联系，则用另一个等量关系来列方程。解：设原来的两位数的十位数字为，则个位数字为11- 七、“韩信点兵式”中等量关系1、一批东西，几几数之剩余，又几几数之则不足一堆书（水果）由一群学生来分，每个学生3本（个），则剩余
13、本（个）；每个学生5本（个），则还差本（个）。这类问题一般存在两个等量关系，可用一个来设未知数，可用另一个来列方程。设学生数为个，则书（水果）可表示为本（个）。这时用到等量关系为书（水果）的总数=书（水果）的总数，即设书（水果）有本（个），此时用到的等量关系为学生总数=学生总数，即2、 注意事项这类问题一般设学生数为未知数较为简便，一定要抓住两个总量是不变的，一个是学生总数，另一个书（水果）的总数。3、 应用举例例11、若干个学生住若干房间，如果每间房住4人，则有20人没处住；如果每间房住8人，则有一间还差4人才住满，问有多少间房？多少个学生？分析：本题有两个等量关系 学生总数=学生总数，房间总数=房间总数解法一：设有间房， 解法二：设有个学生
