广东省2011年数学高考试题解法研究（理科）二. 填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 ）（一）必做题（9～13题）9. 不等式的解集是__________.解答：, , , 即 ， ，因此解集是.10. 的展开式中, 的系数是_________.（用数字作答）解答：, 的展开式中, 的系数是84.11. 等差数列前9项的和等于前4项的和若,, 则k=_________.解答：， ， ， ， ， .12. 函数在 ______处取得极小值.解答：, , 当时，，. 因为当时，；当时，；当时，, 所以在处，函数取得极小值，极小值为；在处，函数取得极大值，极大值为. 13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别为173cm、170cm和182cm因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解答：因为儿子的身高y与父亲的身高x相关, 取得数据, , ,,所以.当时，.（二）选做题14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程为和，它们的交点坐标为___________.解答：将两参数方程转化为：和，联立求解，可得： ,（舍去），代入, 可得, （舍去） 则交点坐标为. 15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆与A,B且PB=7, C是圆上一点使得BC=5, ∠BAC=∠APB, 则AB=_________.解答：因为AP为切线，所以 . 又因为, ～, , . 图4三、解答题（本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知，(1) 求的值.(2) 设,求的值.（本小题主要考查正弦的诱导公式，同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式等基础知识，考查推理论证和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解答：（1） （2） , , 注1：第一问的新解法Ⅰ 第一问的新解法Ⅱ 第一问的新解法Ⅲ （2） 17.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451691781661751807580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足时，该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列及其均值（即数学期望）.解答：（1）解法1：， ， 即乙厂生产的产品数量为35件。
解法2：设乙厂生产的产品数量为，则有， 解得 即乙厂生产的产品数量为35件解法3：设乙厂生产的产品数量为，则有， 解得 即乙厂生产的产品数量为35件解法4：设甲、乙两厂生产的产品总数量为，则有， 解得 故乙厂生产的产品数量为件 解法5：设甲、乙两厂生产的产品总数量为，乙厂生产的产品数量为，则有 解得 故乙厂生产的产品数量为35件2）易见只有编号为2，5的两组产品为优等品， 所以乙厂生产的产品中的优等品率为， ， 故乙厂生产有大约件优等品. （3）解法1：的取值为0，1，2. 所以的分布列为：012P 故的均值为 =4/5. 解法2：的取值为0，1，2. 所以的分布列为：012P0.30.60.1 故的均值为 . 18.(本小题满分13分)如图5，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E,F分别是BC,PC的中点．(1)证明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P-AD-B的余弦值．证法1：(1) ∵AD=AB=1，∠DAB=60°，ABCD是边长为1的菱形.∴△ABD，△CBD均为边长为1的正三角形. ∵E为BC的中点，∴BC⊥DE. 又∵AD∥BC， ∴AD⊥DE. 取AD的中点G，连结PG，BG，BD. ∵PA=PD=，G为AD的中点，∴PG⊥AD.∵AB=AD=1，G为AD的中点，∴BG⊥AD.而PG∩BG =G，∴AD⊥平面PBG.. ∴AD⊥PB. ∵E、F分别是BC、PC的中点.∴EF∥PB. ∴AD⊥EF. 由AD⊥DE，AD⊥EF、EF∩DE=E 知AD⊥平面 DEF. （另一方法：从AD⊥平面PBG之后开始……由于E、F分别为BC、PC的中点，则DE∥BG,EF∥PB. 并且DE∩DF=D，BG∩PB=B，∴面DEF∥面PBG. 知AD⊥平面 DEF. (2) 由(1)的证明知PG⊥AD，BG⊥AD。
又∵PG平面PAD，BG平面BAD.平面PAD平面BAD=AD. ∴∠PGB为二面角P-AD-B的平面角. 在Rt△PAG中，, 在Rt△ABG中，， ∴ . . 证法2：(1)∵AD=AB=1，∠DAB=60°，ABCD是边长为1的菱形.∴△ABD，△CBD均为边长为1的正三角形. ∵E为BC的中点，∴BC⊥DE. 又∵AD∥BC， ∴AD⊥DE.. 在△ADP中，. . ∴. ∴AD⊥DF. 由AD⊥DE，AD⊥EF、EF∩DE=E 知AD⊥平面 DEF. (2)与证法1的证明相同证法3：（向量法）∵AD=AB=1，∠DAB=60°，ABCD是边长为1的菱形.∴△ABD，△CBD均为边长为1的正三角形. ∵E为BC的中点，∴BC⊥DE.又∵AD∥BC， ∴AD⊥DE. 以D为原点， 的方向分别为x轴，y轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系。
则有D（0，0，0），C（），. 取AD的中点G，连PG，GB. 由 GB∥DE， AD⊥BG，可得 B（），G（）. ∵PA=PD ∴PG⊥AD， ∴可设P（）. 于是，（或用） 。