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1、第1期还款后欠银行的金额：Q = a1 - x = A（1 ：；爲）- x住房贷款的数学模型1问题的提出银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。有人认为一笔 20万元、20年的房贷，两种还款方式的 差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法， 即每月以相等的额度平均偿还贷款本息， 直至期满还清；而等本不等息递减还款 法(简称等额本金还款法)，即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而 逐月递减，直至期满还清。1 请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分；2 是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论2问题
2、的分析试想一下，银行如果不把本金贷给客户的话， 银行就可以从这笔本金中赚到利息 因此,银行为了保障自己的利益，他不仅要求客户还贷款本金外，还要求客户还本金在贷款期内应该赚到的利息.现在的银行大多是要求客户每月还相等的金额,即是每月按月均还款额偿还贷款，这样，贷款期过后，客户就会把本金和本金的利息都还清可以根据这些，从中推导出月均还款总额的公式3符号的约定A :客户向银行贷款的本金B :客户平均每期应还的本金C :客户应向银行还款的总额D :客户的利息负担总和a :客户向银行贷款的月利率3 :客户向银行贷款的年利率 m :贷款期n :客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系
3、:(1) n =12m(2) C-A=D(3)A 二 nB4模型的建立与求解4. 1等额本息还款模型的求解(1)贷款期在1年以上:先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变客户的合同里规定说，在因为一年的年利率是 3,那么，平均到一个月就是(3 /12 )，也就是月利率a，即有关系式：1 12：设月均还款总额是x (元)ai (i=1n)是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额bi (i=1n)是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额第1期还款后欠银行的金额：Q = a1 - x = A（1 ：；爲）- x根据上面的分析，有第1期还款前
4、欠银行的金额：耳=A(1 =)第i期还款前欠银行的金额：a 二 bj（1： ） = （A（1 ：严 x（1： ）2 ” -X）（1 ：）= A（1 ： ） -x（1 ：厂 _x（1 ：严 -x（1 ：）第i期还款后欠银行的金额：bj f -x=A（1： ）j _x（1：J-_x（1： ） - x第n期还款前欠银行的金额：an f : ） = （A（V ：）心-x（1：严-x（1： ）2 ”X）（1：）=A（1： ）n _x（1： ）2 - x（1：y-”x（1：）第n期还款后欠银行的金额：bn =an - x = A（1 ： =）n - X（1+ ： ）2 -x（1 ： ：） - X因为第n期
5、还款后，客户欠银行的金额就还清也就是说：bn = 0，即：A（1： ）n -x（1+ ： ）2 -x（1： ） - x=0解方程得：A： （1 ： ）nxn（1 ： ）n -1这就是月均还款总额的公式因此，客户总的还款总额就等于：An： （1 iH）n（1 ： ）n -1利息负担总和等于:利用上面的公式，计算出的An： （1： ）n（1 ： ）n -1-A5年期和20年期都跟题目给出的数据吻合（2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清因此,1年期的还款总额为：C =（1 1）A而利息负担总和为：D二C - A二A4.2等额本金还款模型的求解银行除了向客户介绍上面的
6、等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同利息负担应该是随本金逐期递减因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外， 还要付给银行没还的本 金的利息.（1） 1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清因此，1年 期的还款总额为：C=（11）A而利息负担总和为：- AA（2）假设贷款期在1年以上设客户第i期应付的金额为xi （ i = 1 .n ）（单位：元）因此，客户第一期应付的金额为：x1 = B （A-B）第二期应付的金额为：x B （A-2B）计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第40期，应该还
7、银行 3343. 68元，这才与每月的盈余相当而在第109期（若年利率不变），应该还银行2832. 18元，这时才 与本息还款法的月均还款总额差不多而且对于每月3350元的收入，等额本息还款法还款会更合适那么，客户第n期应付的金额为xn = B (A- nB)：累计应付的还款总额为C =刘X2Xn利息负担总和为： 八 八 A（2 ：匸n-：）八 1 A/ 八D=C-AA A（n-1）2 2以向银行贷款20万买房子，20年还款期为例.比较两种还款方法（如下表）（以新规定，五年以上年利率为5. 58%来计算（单位：元）贷款期限（年）年利率（%还款总额利息负担总和月均还款总额20 （本息还款）5.
8、94342227. 49142227.491425.9520 （本金还款）5. 94318305. 00118305. 001819.21 (第 1期)比较23922.4923922.49虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十期的负担相对的会很重而等额本息还款法是每月还银行相等的金额，客户的负担没那么大， 所以，银行一般都推荐等额本金还款法 5.其他还款方式银行推出不同的房贷方式， 只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。 虽 然理论上总还款额比较少的比较核算，实际生活中要看是否适合自己的经济状况。 选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配， 尽量使收入曲线
9、和供款相一致。 在有还贷能力情况下尽量选择总还款额比较少。等额本金还款 :适合目前收入较高的人群。借款人在开始还贷时，每月负担比等 额本息要重。随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。这种还款方式相对同样期限 的等额本息法，总的利息支出较低。等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和， 容易作出预算。 还款初期利 息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。等额本息还款法更 适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳 定的人士，固定利率 :进入加息周期较合算目前国内借款人与银行已签订的房贷合同都是浮 动利率的， 央行每一次加息， 借款人的月供就要有相应地
10、增加。 在贷款合同签订时， 即设定好固定的利率，不论贷款期内利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付 利息，但风险较大。按期付息还本 :适合房产投资客，借款人通过和银行协商，为贷款本金和利息归 还制订不同还款时间单位。即自主决定按月、季度或年等时间间隔还款。实际上， 就是借款人按照不同财务状况，把每个月要还的钱凑成几个月一起还。还可以有递增法， 气球贷等等， 核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本 金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。六、模型的优缺点与改进方向1、模型的优点：（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。（2）本文建立离的模型有相应的软件支持，推光容易。（3）本
11、文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更 贴近实际，更实用。（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行 改进，加以验证。（6）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。2、模型缺点：（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。（2）利率的精确度不同可能造成一定误差（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来3、模型的改进（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响（3）对利率有更准确的计算方法（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平
