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1、高中数学5.5利用不等式求最大（小）值5.5.1利用平均不等式求最大（小）值知识导航学案苏教版选修4-55.5.1 利用平均不等式求最大(小)值自主整理1.a、bR,则a2+b22ab,当且仅当_时取“=”.2.a、bR+,则,当且仅当_时取“=”.3.a1,a2,anR+,则,当且仅当_时取“=”.高手笔记1.已知和为定值,则乘积有最大值;已知乘积为定值,则和有最小值.2.函数取得最值必须等号成立,注意满足“正、定、等”三个条件.3.若平均不等式中等号取不到则考虑函数的单调性,利用单调性求得最值.4.注意在使用平均不等式时的变形技巧.名师解惑利用平均不等式求函数的最值应注意什么?剖析:利用平
2、均不等式求某些函数的最值时应注意以下几点:(1)函数式中各项是否都是正数.都是正数可以用平均不等式,若都是负数,也可通过提取负号将括号里的数变为正数,再利用平均不等式.(2)函数式中含变量的各项的和或积必须是常数,即为定值,并且各项都相等时才能取“=”,求出最值.否则需由函数的单调性求出.(3)在求函数的最值时,要注意选择适当的不等式进行变形,即要考察是否满足“正、定、等”这三个条件,有时为了满足条件需要先变形、构造,在变形过程中,可采用拼凑法,使所拆、拼的数要相等,以使能够取到等号,在解决问题时,还要注意自变量的取值范围,考察能否取到等号.讲练互动【例1】(1)已知x0,y0,且=1,求x+
3、y的最小值.分析:本题可用平均不等式求最值,但在使用平均不等式时要注意条件,(1)中x则4x-50,可提取负号变为正值并构造积为定值,求出.(2)中=1是和为定值,但与x+y之间的联系并不直接,可采用整体代换,或构造、代入等方法求出.解:(1)x,4x-50.y=4x-2+=-(4x-5)+3-2+3=1.当且仅当-(4x-5)=,即(4x-5)2=1时“=”能取到.x0,y0且=1,x+y=(x+y)()=10+10+2=16.当且仅当且=1时取“=”,x=4,y=12时,x+y最小为16.方法二:=1,(x-1)(y-9)=9(定值)且x1,y9.x+y=(x-1)+(y-9)+10+10
4、=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时,(x+y)min=16.方法三:=1,x=.x0,y0,y9.代入x+y,得x+y=+y=y+1+=(y-9)+10+10=16.当且仅当y-9=0,即y=12,x=4时,x+y取最小值16.绿色通道 本题在利用平均不等式求函数的最值时,采用拼凑法构造平均不等式,同时注意等号成立的条件“正、定、等”.特别(2)题中的不同的构造都是以“正、定、等”为前提的,若用如下方法就不妥当:=1,.6.x+y212,你知道为什么吗?变式训练1.(1)已知:x0,y0,x+y4,求的最小值;(2)设实数m、n、x、y满足x2+y2=3,m2+n2=1,
5、求mx+ny的最大值.解:(1)x0,y0,+.又x+y4及x+y,2.+1.当且仅当x=y=2时取“=”.+的最小值为1.(2)x2+y2=3,()2+()2=1.又m2+n2=1,mx+ny=(m+n)(+)=,当且仅当m=,n=时取“=”.即mx+ny的最大值为.【例2】已知x0,求函数y=x(1-x2)的最大值.分析:本题为乘积结构,需要构造“和”为定值,若将函数变为y=x(1-x)(1+x)=x(2-2x)(1+x),得到x+(2-2x)+(1+x)为定值,但所求出的不是最值.这是因为x,2-2x,1+x不能同时相等.为了构造和为定值,1-x2不能分开,只有将函数两边平方,把x的次数
6、升高为二次,进一步利用平均不等式解出.解:y=x(1-x2),y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2)3=()3= .y.当且仅当2x2=1-x2且x0,即x=时,ymax=.绿色通道 在利用平均不等式时,要学会构造,求积的最值,需构造和为定值;求和的最值需构造乘积为定值,还需满足各项相等才可以.变式训练2.已知为锐角,求y=sincos2的最大值.解:y2=sin2cos4=sin2cos2cos2=2sin2cos2cos2()3=()3=,y,当且仅当2sin2=cos2=1-sin2,即sin=时取“=”.即ymax=.【例3】当0xa时,
7、不等式4恒成立,求a的最大值.分析:不等式恒成立,即函数y=的最小值4,观察x+(a-x)=a(定值)可利用平均不等式.解:,当且仅当x=a-x时取“=”.又0xa,0x(a-x)2=,当且仅当x=a-x时取“=”.(当且仅当x=a-x时取“=”).4.a22.00,y0,不等式x+y-a(x+)0恒成立,即a恒成立.x+x+(x+2y)=2x+2y,.a.【例4】如下图,为处理含有杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a、
8、b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）.分析:题中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y,由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y=. 又由于受箱体材料多少的限制，a、b之间应有一定的关系式，即2(2b)+2ab+2a=60，因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a0,b0，求y=最小时a、b的值.解法一:设流出的水中杂质的质量分数为y,由题意y=(k0),其中k为比例系数.又据题意知22b+2ab+2a=60(a0,b0)，b=(由a0,b0,可得a0),要求y的最小值,必须求出ab的最大值.由题设4b+2ab+2a=60,即
9、ab+2b+a=30(a0,b0),a+2b2(当且仅当a=2b时取“=”),ab+230,可解得0ab18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小.即a=6 m,b=3 m时,经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.绿色通道 利用不等式解决实际应用问题,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的最值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x)(x一般为题目中最后所要求的量);最后,利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约. 由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制
10、,在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形(如解法一).对于一些分式结构的函数,当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时,通常采用分离变量(或常数)的方法拼凑出类似函数y=x+的结构,然后用平均不等式(符合条件)或单调性求最值.这种变形的技巧经过适当的强化训练,是较容易掌握的.变式训练4.一船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲、乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且pq.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了
11、使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?分析:由题意,全程燃料费由每小时的费用及航程时间来决定,所以应先找出每小时的燃料费用及全程航行时间.而第(2)问是求最值问题,是否需用平均不等式,要注意适用的条件,尤其是第(1)问的定义域,水速应小于船的最小速度,所以定义域应是(p,q.因此,本题若平均不等式的“=”能满足即可求得结果,但也存在不能使“=”成立的情况,因而,也需用函数的单调性求解.解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2,故所求函数是y=ks(pq时,任取v1、v2(p,q,且v1p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)0,y1-y20.函数y在区间(p,q内递减,此时y(v)y(q),即ymin=y(q)=.故为使全程燃料费用最小,当2pq时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2pq时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).1
