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1、新高考导数大题必刷热点题型MST1（2020抚顺模拟）已知函数（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围2（2020镇海区校级模拟）已知实数，设函数（）当，时，证明：；（）若有两个极值点，证明：3（2020宣城二模）已知函数，（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围4（2020春东海县期中）已知函数（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值5（2020大兴区一模）已知函数（）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求证：函数有且只有一个零点6（2020春海淀区校级期中）已知函数，其中，（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
2、（2）讨论函数的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数有两个极值点，证明：7（2020春沙坪坝区校级期中）已知函数，（1）若的切线过，求该切线方程；（2）讨论与图象的交点个数8（2020春浙江期中）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（1）求实数的取值范围；（2）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式9（2020徐州模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，百米，百米该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植
3、花草的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）10（2020东湖区校级模拟）已知函数（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由11（2020榆林三模）已知是函数的极值点（1）求的最小值；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围12（2020榆林三模）已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若对存在，使得，求实数的取值范围13（2020抚顺模拟）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数14（2020深圳一模）已知函
4、数（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求证：对任意的，15（2020江西模拟）设函数（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由16（2020甘肃模拟）函数，且（1）若，判断函数的单调性；（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方17（2020全国卷模拟）已知：仅有1个零点（1）求实数的取值范围；（2）证明：18（2020春滨海新区期中）已知函数，（）求函数的单调区间；（）若，且，使得成立，求的取值范围；（）若函数有两个不同的极值点，求证：19（2020厦门一模）已知函数（1）当时，求函数的极值点；（2）若在
5、区间，内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：20（2020山东模拟）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在，上的零点个数21（2020台州模拟）已知函数，（）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（）若，求证：（注为自然对数的底数、22（2020宿迁模拟）某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆、半圆和正方形组成的，且设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签，标签的其中两个顶点，在上，另外两个顶点，在上，分别是，的中点）设的中点为，矩形的面积为（1）写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大？23（2020合肥模拟）已知函数（1）当时，求证：；（2）
6、若函数，求证：函数存在极小值24（2020盐城三模）设函数，其中恒不为0（1）设，求函数在处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由25（2020湖北模拟）已知函数，（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）若，求的取值范围26（2020武汉模拟）已知函数，（1）求的单调区间，（2）若关于不等式对任意和正数恒成立，求的最小值27（2020肇庆三模）设函数，为自然对数的底数（1）求的单调区间：（2）若成立，求正实数的取值范围28（2020济宁模拟）已知两个函数（）当时，求在区间，上的最
7、大值；（）求证：对任意，不等式都成立29（2020和平区校级二模）已知函数，若曲线与曲线都过点且在点处有相同的切线（）求切线的方程；（）若关于的不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围30（2020嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”已知函数，（）求函数的单调区间；（）若为的一个“子函数”，求的最小值参考答案与试题解析1（2020抚顺模拟）已知函数（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围【分析】（1）求出原函数的导函数，由（1）求得，代入导函数的解析式，再由导函数小于0求解减区间，导函数大于0求解
8、增区间；（2），得，把在，上没有零点转化为在，上满足或结合（1），只需证在，上满足对分类讨论可得在，上的单调性，求出最小值，由最小值大于0可得的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域为，且在处取得极值，（1），得，经验证符合题意；当时，当时，的单调减区间为，单调增区间为；（2），则要使在，上没有零点，只需在，上满足或又（1），只需证在，上满足当时，在，上单调递减，则，解得，与矛盾；当时，在，上单调递减，在，上单调递增，由，得，；当时，在，上单调递增，满足题意综上，的取值范围是【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题2（2020镇海区校级
9、模拟）已知实数，设函数（）当，时，证明：；（）若有两个极值点，证明：【分析】（）依题意，即证，换元令，则即证，令，又令二次函数的对称轴，则利用导数可知在，上递增，等价于证明（1），即证，再令，利用导数判断函数的单调性，进而求得其大于等于0恒成立，由此得证；（）根据题意，可求得，构造函数，可证，令，则，令，利用导数可知，即可得证【解答】证明：（），即为，亦即，令，则，令，令对称轴，则，时，时，时，在上递增，在，上递减，且，在，上递增，故只需证（1），即证，即证，令，则，在上递减，而（1），当时，当时，即时，当时，即成立，当，时，成立；（），有两个极值点，令，则，易知，当时，当时，在上递减，在上递
10、增，故，即，由，可得，则，则，由，得，下证，即证，即证，等价于证，令，则，故，即，令，则，令，则，在上递减，即【点评】本题考查导数的综合运用，涉及了变换主元法，分析法，消元法，换元法，构造法等常见数学方法的运用，培养了转化思想，放缩思想等数学思想的建立，锻炼了学生运算化简，逻辑推理等数学能力，综合性强，难度大3（2020宣城二模）已知函数，（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，再求出与的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，即设，可得令，可得，分，三类分析求解满足题意的的取值范围【解答】解：（1）当时，则，又，曲线
11、在，处的切线方程为；（2）由，得，即设，则令，若，即，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；若，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；若，当时，由，解得，在上单调递减，则，不满足题意综上所述，的取值范围是，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题4（2020春东海县期中）已知函数（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值【分析】（1）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，分与可得导函数在不同区间内的符号，得到函数的单调性，从而求得函数的极值；（2）当时，由（1）知，在，上单调递减，故的最大值；当时，由（1）
12、知，在，上单调递减，的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增结合（1），得的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增结合（1），知的最大值为（1）【解答】解：（1），由，解得当时，若，可得，若，可得，在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数取得极小值；当时，若，可得，若，可得，在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数求得极大值综上，若，当时，函数取得极小值；若，当时，函数取得极大值（2）当时，由（1）知，在，上是单调减函数，而，在，上单调递减，故的最大值；当时，由（1）知，为，上的单调减函数，而，在，上单调递减，故的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，
13、在，上单调递增又满足（1），故的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增又满足（1），故的最大值为（1）综上，【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题5（2020大兴区一模）已知函数（）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）求证：函数有且只有一个零点【分析】（）求出函数的导数，然后分别求出时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（）函数有且只有一个零点，可转化为在上只有一个零点，可通过研究的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解【解答】解：（）当时，函数，所以，所以函数在点，（1）处的切线方程是（）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于的方程在上有且只有一个解设函数，则，令，则，由，得10单调递减极小
