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1、新高考导数大题必刷热点题型MST1(2020抚顺模拟)已知函数(1)若在处取得极值,求的单调区间;(2)若在,上没有零点,求的取值范围2(2020镇海区校级模拟)已知实数,设函数()当,时,证明:;()若有两个极值点,证明:3(2020宣城二模)已知函数,(1)当时,求曲线在,处的切线方程;(2)若时,恒成立,求的取值范围4(2020春东海县期中)已知函数(1)求函数的极值;(2)求函数在区间,上的最大值5(2020大兴区一模)已知函数()若,求曲线在点,(1)处的切线方程;()求证:函数有且只有一个零点6(2020春海淀区校级期中)已知函数,其中,(1)当时,求曲线在点,(1)处的切线方程;
2、(2)讨论函数的极值点的个数,并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数;(3)若函数有两个极值点,证明:7(2020春沙坪坝区校级期中)已知函数,(1)若的切线过,求该切线方程;(2)讨论与图象的交点个数8(2020春浙江期中)已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值(1)求实数的取值范围;(2)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式9(2020徐州模拟)如图,某生态农庄内有一直角梯形区域,百米,百米该区域内原有道路,现新修一条直道(宽度忽略不计),点在道路上(异于,两点),(1)用表示直道的长度;(2)计划在区域内修建健身广场,在区域内种植花草已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元,种植
3、花草的成本为每平方百米2万元,新建道路的成本为每百米4万元,求以上三项费用总和的最小值(单位:万元)10(2020东湖区校级模拟)已知函数(1)当时,若函数在上有两个零点,求的取值范围;(2)当时,是否存在,使得不等式恒成立?若存在,求出的取值集合;若不存在,请说明理由11(2020榆林三模)已知是函数的极值点(1)求的最小值;(2)设函数,若对任意,存在,使得,求实数的取值范围12(2020榆林三模)已知函数(1)当时,求的最小值;(2)若对存在,使得,求实数的取值范围13(2020抚顺模拟)已知函数(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)讨论在区间上的零点个数14(2020深圳一模)已知函
4、数(1)当时,求曲线在点,处的切线方程;(2)当时,求证:对任意的,15(2020江西模拟)设函数(1)试讨论函数的单调性;(2)设,记,当时,若函数与函数有两个不同交点,设线段的中点为,试问是否为的根?说明理由16(2020甘肃模拟)函数,且(1)若,判断函数的单调性;(2)当时,求证:的图象恒在函数的图象的下方17(2020全国卷模拟)已知:仅有1个零点(1)求实数的取值范围;(2)证明:18(2020春滨海新区期中)已知函数,()求函数的单调区间;()若,且,使得成立,求的取值范围;()若函数有两个不同的极值点,求证:19(2020厦门一模)已知函数(1)当时,求函数的极值点;(2)若在
5、区间,内有且仅有4个零点的充要条件为,求证:20(2020山东模拟)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)当时,求函数在,上的零点个数21(2020台州模拟)已知函数,()求证:存在唯一的实数,使得直线与曲线相切;()若,求证:(注为自然对数的底数、22(2020宿迁模拟)某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子,它是由半圆、半圆和正方形组成的,且设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签,标签的其中两个顶点,在上,另外两个顶点,在上,分别是,的中点)设的中点为,矩形的面积为(1)写出关于的函数关系式;(2)当为何值时,矩形的面积最大?23(2020合肥模拟)已知函数(1)当时,求证:;(2)
6、若函数,求证:函数存在极小值24(2020盐城三模)设函数,其中恒不为0(1)设,求函数在处的切线方程;(2)若是函数与的公共极值点,求证:存在且唯一;(3)设,是否存在实数,使得在上恒成立?若存在,请求出实数,满足的条件;若不存在,请说明理由25(2020湖北模拟)已知函数,(1)若,求曲线在点,处的切线方程;(2)若,求的取值范围26(2020武汉模拟)已知函数,(1)求的单调区间,(2)若关于不等式对任意和正数恒成立,求的最小值27(2020肇庆三模)设函数,为自然对数的底数(1)求的单调区间:(2)若成立,求正实数的取值范围28(2020济宁模拟)已知两个函数()当时,求在区间,上的最
7、大值;()求证:对任意,不等式都成立29(2020和平区校级二模)已知函数,若曲线与曲线都过点且在点处有相同的切线()求切线的方程;()若关于的不等式对任意,恒成立,求实数的取值范围30(2020嘉兴模拟)定义两个函数的关系:函数,的定义域分别为,若对任意的,总存在,使得,我们就称函数为的“子函数”已知函数,()求函数的单调区间;()若为的一个“子函数”,求的最小值参考答案与试题解析1(2020抚顺模拟)已知函数(1)若在处取得极值,求的单调区间;(2)若在,上没有零点,求的取值范围【分析】(1)求出原函数的导函数,由(1)求得,代入导函数的解析式,再由导函数小于0求解减区间,导函数大于0求解
8、增区间;(2),得,把在,上没有零点转化为在,上满足或结合(1),只需证在,上满足对分类讨论可得在,上的单调性,求出最小值,由最小值大于0可得的取值范围【解答】解:(1)函数的定义域为,且在处取得极值,(1),得,经验证符合题意;当时,当时,的单调减区间为,单调增区间为;(2),则要使在,上没有零点,只需在,上满足或又(1),只需证在,上满足当时,在,上单调递减,则,解得,与矛盾;当时,在,上单调递减,在,上单调递增,由,得,;当时,在,上单调递增,满足题意综上,的取值范围是【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查函数零点的判定,考查分类讨论的数学思想方法,是中档题2(2020镇海区校级
9、模拟)已知实数,设函数()当,时,证明:;()若有两个极值点,证明:【分析】()依题意,即证,换元令,则即证,令,又令二次函数的对称轴,则利用导数可知在,上递增,等价于证明(1),即证,再令,利用导数判断函数的单调性,进而求得其大于等于0恒成立,由此得证;()根据题意,可求得,构造函数,可证,令,则,令,利用导数可知,即可得证【解答】证明:(),即为,亦即,令,则,令,令对称轴,则,时,时,时,在上递增,在,上递减,且,在,上递增,故只需证(1),即证,即证,令,则,在上递减,而(1),当时,当时,即时,当时,即成立,当,时,成立;(),有两个极值点,令,则,易知,当时,当时,在上递减,在上递
10、增,故,即,由,可得,则,则,由,得,下证,即证,即证,等价于证,令,则,故,即,令,则,令,则,在上递减,即【点评】本题考查导数的综合运用,涉及了变换主元法,分析法,消元法,换元法,构造法等常见数学方法的运用,培养了转化思想,放缩思想等数学思想的建立,锻炼了学生运算化简,逻辑推理等数学能力,综合性强,难度大3(2020宣城二模)已知函数,(1)当时,求曲线在,处的切线方程;(2)若时,恒成立,求的取值范围【分析】(1)把代入函数解析式,求导函数,再求出与的值,利用直线方程的点斜式得答案;(2)由,得,即设,可得令,可得,分,三类分析求解满足题意的的取值范围【解答】解:(1)当时,则,又,曲线
11、在,处的切线方程为;(2)由,得,即设,则令,若,即,当时,在上单调递增,而,时,恒成立,满足题意;若,当时,在上单调递增,而,时,恒成立,满足题意;若,当时,由,解得,在上单调递减,则,不满足题意综上所述,的取值范围是,【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求函数的最值,考查分类讨论的数学思想方法,是中档题4(2020春东海县期中)已知函数(1)求函数的极值;(2)求函数在区间,上的最大值【分析】(1)求出原函数的导函数,求出导函数的零点,分与可得导函数在不同区间内的符号,得到函数的单调性,从而求得函数的极值;(2)当时,由(1)知,在,上单调递减,故的最大值;当时,由(1)
12、知,在,上单调递减,的最大值;当时,由(1)知,在,上单调递减,在,上单调递增结合(1),得的最大值为;当时,由(1)知,在,上单调递减,在,上单调递增结合(1),知的最大值为(1)【解答】解:(1),由,解得当时,若,可得,若,可得,在上单调递减,在上单调递增,则当时,函数取得极小值;当时,若,可得,若,可得,在上单调递增,在上单调递减,则当时,函数求得极大值综上,若,当时,函数取得极小值;若,当时,函数取得极大值(2)当时,由(1)知,在,上是单调减函数,而,在,上单调递减,故的最大值;当时,由(1)知,为,上的单调减函数,而,在,上单调递减,故的最大值;当时,由(1)知,在,上单调递减,
13、在,上单调递增又满足(1),故的最大值为;当时,由(1)知,在,上单调递减,在,上单调递增又满足(1),故的最大值为(1)综上,【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值,考查分类讨论的数学思想方法,考查逻辑思维能力与推理论证能力,是中档题5(2020大兴区一模)已知函数()若,求曲线在点,(1)处的切线方程;()求证:函数有且只有一个零点【分析】()求出函数的导数,然后分别求出时的函数值、导数值,利用点斜式即可求切线方程;()函数有且只有一个零点,可转化为在上只有一个零点,可通过研究的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解【解答】解:()当时,函数,所以,所以函数在点,(1)处的切线方程是()函数的定义域为,要使函数有且只有一个零点,只需方程有且只有一个根,即只需关于的方程在上有且只有一个解设函数,则,令,则,由,得10单调递减极小