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1、空间向量专题练习高中数学试卷第#页，共5页高中数学试卷第#页，共5页、填空题(本大题共4小题，共20.0分) a的法向量为(1 , 0 , -1 ), 面3所成二面角的大小为 :【答案】1平面平面3的法向量为(0, -1, 1),则平面a与平高中数学试卷第#页，共5页?J2?3或亍【解析】解：设平面a的法向量为？?= ( 1 ,0 , -1)，平面3的法向量为 ? (0 , -1 ,1),则 cosv ?,?2 =1X 0+0x(-1)+(-1)X12? 2高中数学试卷第#页，共5页高中数学试卷第#页，共5页 = 2?-.平面a与平面所成的角与V ?, ?相等或互补,高中数学试卷第#页，共5页
2、高中数学试卷第#页，共5页? 2 ?所成的角为3或故答案为:?J 2?口或33 高中数学试卷第#页，共5页高中数学试卷第#页，共5页利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出.本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题.2平面a经过三点A (-1, 0 , 1 ), B (1 , 1 , 2) , C ( 2 , -1 , 0),则平面a的法向量?可以是(写出一个即可)【答案】(0 , 1, -1 )【解析】解：? (2, 1 , 1) , ? ( 3 , -1 , -1 ),设平面a的法向量？?= (x , y , z),?= 2?+ ?+ ?= 0 .y=1 , x
3、=0 .则0,令 z=-1 ,?= 3?2 ? ? 0二?= (0 , 1, -1).故答案为：(0, 1 , -1).设平面a的法向量？?= (x , y , z),则?= 2?+ ?+ ?=?= 3?2 ? ?=0，解出即可.0高中数学试卷第#页，共5页本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题.3已知? (1 , 0 , 2) , ? (2 , 1 , 1),则平面 ABC的一个法向量为 .【答案】(-2 , 3 , 1 )【解析】解：? (1 , 0 , 2) , ? ( 2 , 1 , 1),设平面ABC的法向量为？= (x , y , z),则?= 0,即?= 0?
4、+ 2?= 02?+ ?+ ?= 0,取 x=-2,贝U z=1 , y=3 . ?= (-2 , 3, 1). 故答案为：(-2 , 3, 1).设平面ABC的法向量为？= (x, y, z),则？?= 0，解出即可.?= 0本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题.4.在三角形 ABC 中，A ( 1, -2 , -1 ), B ( 0, -3 , 1 ) , C (2 , -2 , 1 ),若向量？与平面ABC垂直，且|?户21,则？?勺坐标为 .【答案】(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1)【解析】解：设平面ABC的法向量为？?= (x , y , z
5、),则?=0 ,且？?？?=0 ,T ? (-1 , -1 , 2), ? (1, 0 , 2),_? - ?+ 2?= 0?+ 2?花 0即?= - 2? ?= 4?令 z=1 ,贝 U x=-2 , y=4 ,即?= (-2, 4 , 1),若向量？与平面ABC垂直,向量? ?,设？=入？?=(-2入，4入，入)，|?= 21 , 21?| 入 1=21 ,即|入|=1 ,解得入= 1, ?的坐标为(2 , -4 , -1)或(-2 , 4 , 1 ), 故答案为：(2 , -4 , -1 )或(-2 , 4 , 1 )根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论.本题主要考查
6、空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键.二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)5如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为菱形, / BAD=60 , Q 为 AD 的中点.(1 )若PA=PD ,求证：平面 PQB丄平面 PAD;1(2 )点M在线段PC 上 , ?= - ?,?若平面PAD丄3平面 ABCD ,且 PA=PD=AD=2 ,求二面角 M-BQ-C 的 大小.高中数学试卷第#页，共5页【答案】解：(1)证明：由题意知： PQ丄AD, BQ丄AD, PQQ BQ=Q , AD丄平面PQB, 又 AD?平面 PAD,平面 PQB丄平面 PAD
7、.(2)T PA=PD=AD , Q 为 AD 的中点， PQ 丄 AD,平面 PAD丄平面 ABCD，平面PADA平面 ABCD=AD , PQ丄平面ABCD,以Q这坐标原点，分别以 QA, QB, QP为x, y, z轴， 建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q (0 , 0, 0), A (1, 0, 0),. ?=23? 3? (-3P (0 , 0,3), B (0 ,3 , 0), C (-2 ,3 , 0)高中数学试卷? ?= 0 ,设?是平面MBQ的一个法向量，则？?= 0 ,232 3?+ ? ?=0 ?=(1),3333?= 0 又T ?= (0, 0 , 1)平面BQ
8、C的一个法向量,1 COSV ? ,? = 2 ,二面角 M-BQ-C的大小是60 .【解析】(1) 由题设条件推导出 PQ丄AD , BQ丄AD ,从而得到AD丄平面PQB,由此能够证明 平面PQB丄平面PAD.(2) 以Q这坐标原点，分别以 QA , QB , QP为x , y , z轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出二面角 M-BQ-C的大小.本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意 向量法的合理运用.6如图， 侧棱点，F在(1 )若(2 )求PE在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD丄底面 ABCD , PD=DC=2 ,点E是P
9、C的中 直线PA 上.? EF丄PA,求?的值;【答案】解：(1)面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底面ABCD ,以D为原点，DA为x轴，DC为y 轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，在四棱锥P-ABCD中，底面角P-BD-E的大小.FB高中数学试卷 PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上, - P ( 0 , 0 , 2), 设 F ( a , 0 , c),-a=2 入,c=2-2 ? (2 入，-1 ,A (2, 0, 0), C (0 , 2, 0), E ( 0, 1 , 1),?= ?则(a , 0 , c-2)=入(2 , 0 , -2) = (2 入，0, -2 入)
10、， 入，F (2 入，0 , 2-2 入)，1-2 入)，?-2), EF丄 PA,. ?=4 入-2+4入=0 ,1解得？?= 4 ,? 1?= 4(2) P (0 , 0 , 2), B (2 , 2 ,? ( 0 , 0 , 2) , ? (2 , 2 , 0), ? ( 0 , 1 , 设平面BDP0), D(0, 0 , 0),E( 0, 1 , 1),1),的法向量？?= (x, y, z),则? = ?= 设平面BDE2?+ 2?= 0取 x=1，得?= (1 , -1 ,0),2?= 0的法向量？?=(x, y, z).? 2?+ 2?= 0 贝y ?= ?+ ?= 0设二面角
11、P-BD-E的大小为取 x=1 ,得?=(1, -1, 1),则COS0 =需务I6二面角P-BD-E的大小为arcc。碍【解析】DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向(1 )以D为原点，DA为x轴，DC为y轴, 量法能求出?的值.(2)求出平面BDP的法向量和设平面 BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小.本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意向量法的合理运用.7如图和棱锥面四边C所示的几何体是由棱台 ABC-A1 B1C1D-AA1C1C拼接而成的组合体，其底 形ABCD是边长为2的菱形，且/ BAD=60 , BB1 丄平面 ABC
12、D ,BB1=2A 1B1=2 .求证：平面 AB1C丄平面BB1D; 求二面角A1-BD-C1的余弦值.【答案】(I)证明：/ BB1 丄平面 ABCD , BB1 丄 AC,/ ABCD 是菱形， BD 丄 AC ,又 BDn BB1=B , AC丄平面 BB1D , AC?平面AB1C，平面AB1C丄平面BB1D;(H)设BD、AC交于点O,以O为坐标原点， 高中数学试卷第4页,以0A为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.则?0, - 1 , 0) , ?0, 1, 0) , ?(0 , - 1 , 2) , ? 3, 0, 0) , ?(# , - 2 , 2),3?(-亍
13、，12，2)，3131二？?=(1-，2，2)，?= (0 , 2 , 0) , ?= (-2 , - , 2).设平面 A1BD的法向量？?= (? ? ?,?= ?+ !?+ 2?2 0由2 2，取 Z=-，得?= (-4，0，? 2?= 0设平面 DCF的法向量?= (? ? ?，? 2?= 0 _ _由-1，取 z=-，得?= (4，0，3).?= - ?+ -?+ 2=0设二面角A1-BD-C1为0 ,贝 y ?o=?|?|? = 22|?|?19 【解析】(I)由BB1丄平面 ABCD ,得BB1丄AC ,再由ABCD是菱形，得 BD丄AC ,由线面垂 直的判定可得 AC丄平面BB1D ,进一步得到平面 AB1C丄平面BB1D;(H)设BD、AC交于点0,以0为坐标原点，以 0A为x轴，以0D为y轴，建立如 图所示空间直角坐标系.求出所用点的坐标，得到平面A1BD与平面DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1-
