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1、伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利推测术的最重要部分一一包含了如今我们称之为伯努利大数a定律的第4部分。回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a白球，b黑球，p= a + b。X有放回地从缶中抽球N次，记录得抽到白球得次数为X,以N去估计p。这个估计法现今 仍是数理统计学中最基本的方法之一。此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a+b个球 的每一个有同等机会被抽出。这一点在实践中并不见得容易。例如，产生中奖号码时用了复 杂的装置。在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。这时一本大书 各页按行、列排列着数字0，1,9它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。在使用 时，“随机地”翻到
2、其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。X伯努利企图证明的是：用N估计p可以达到事实上的确定性一一他称为道德确定性。其 确切含义是：任意给定两个数* 0和“ 0，总可以取足够大的抽取次数 N，使事件乍的概率不超过“。这意思是很显然:X-p N表明估计误差未达到指定的接近程度*，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N）。为忠实于伯努 利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把8限定为（a + b）-1，虽然其证明对一般8也有效。 他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关:必要时把缶中的白、黑球分别改为ra和rb个,1则p不改变，（a + b）-1改为ra + rb，只
3、须r取足够大，可使此数任意小。其次，伯努利要证的是：对任给c0,只须抽取次数N足够大，可使 CPIX- P8丿(8)这与前面所说是一回事。因为由上式得pflN-p 8 (c+1)-1(9)取c充分大可使它小于“。另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p值只 能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p成立，故这一细节并不 重要。伯努利上述对事实上确定性的数学理解，即（8）式，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。因为，既然我们想要证明的是当N充分大时，N和p可以任意接近，则一个看来直截了当的提法是lim X = pn T
4、8N,(10)X而这不可能实现。因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时N总为1,不能 收敛于p1。或者退一步：要求(10)式成立的概率为1,这个结论是对的，但直到1909 年才由波莱尔证明，其难度也比伯努利的提法大得多。设想如当时伯努利就采用这个提法， 他也许不一定能在有生之年完成这一工作。波莱尔得结论比伯努利强，故现今把它们得结论 分别称为强大数律和弱大数律。如今具有概率论初步知识的人都知道，伯努利大数律是契比谢夫不等式的简单推论。但 在伯努利时代尚无方差概念，更不用说这一不等式了。伯努利用的是直接估计概率的方法， 大意如下：令A0 = P(Np X Np + N )A = P (
5、Np + kN X c(竹 + A2 +)(11)这就解决了 XNp的一边。对XvNp的一边如法炮制，即可得处(8)式。附带指出：可以把伯努利的结论(9)引申一点点：如果我们知道缶中球的总数a+b,或者更广一些，知道a+b不超过某已知数M,则可以把(3)式改进为：可以找到p的一个X估计p(X)(不是N )，使当N充分大时有P( P( X p 4, i - j 2 ；h（i, j） = 0，当 j 4, j - i 2 ；h(2,2)二 h(3,3)二假定再赌一局。若A胜(概率p),情况变为(i +1，力。若B胜(概率q),情况变为(i，j +1)。 故按全概率公式，有h( i, j) ph弋
6、1, j) qh 护。令 i=j = 3,得h(33)二 ph43 +qh,4)，分别在上式中令 G,j) =(4,3)及(3,4),得加4,3) 及 h(3,4) 的表达式，代入上式得h(3,3)二 p2h(5,3) + 2pqh(4,4) + q2h(3,5)=p 2 + 2 pqh (3,3)o于是得h(3,3)二p2p 2 + q 2再在式中令(i,j)=(2,3),得h(2,3=) ph (3十 qh注意到p _ p=pq 1 - p，有于是h(2,3)=r 3 + r 2 + r +1循此以往，依次得 h(3,2) , h(2,2)，h(3,l), h(l,3)，直至 h(0,0)
7、，就是(1)式。这个问题可以推广为：一方胜局达到m且比对方得胜局多n,则此方获胜。(1)式对应 于m=4, n=2的情况。一般情况原则上也可用上述步骤求解，但对大的m和n公式将繁 杂得难以想象。例如乒乓球相当于m=21和n=2。注3：(11)式得证明。我们先介绍一个证明，其思想与伯努利得原始证明一致，但形式略广一些，然后指出伯努 利原始证明差异之处。我们只点明主要的步骤，一些容易的细节请读者自己补出。1. 1.先证明存在常熟u (与k无关)，使Ak +1 UA,k k=0,l,2,.(A2)A u k A若此式已证，则有 k 0 ，故A3)为证(A2),记bk = N + kNe+1。按Ak的
8、定义，有Ak 丨 1 AkP X b ) + P X b +1) + +P X b + N 1 今k+k+1k+iP X b) + P X b+1) + +P X b s + N 1 今 maxP(X b )P(X b )kP( X b + Ne 1)P (X b + N e 1)kkkk此处有一个bk可以不是整数的问题。这需要在写法上作一点小的调整。以下为行文简单，a1p e 略去这一调整，这与实质无损(在伯努利的原始证明中，a+b，a+b 而他取 N为a+b的整倍数，故这时bk必为整数，不存在上述问题)。容易证明：当r0时，有P ( X S)、P X + )1P( X T)P( -r )当然这里要求r n 0而s+1 N。上式易由二项概率公式证明之。由以上两式得AP(X b ) P(X b)
