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1、奥孚培优小学奥数思维训练(数论板块） 目 录1、 奇偶性分析2、 整除问题3、 质数与合数4、 约数与倍数5、 余数问题奇偶性分析知识点阐明:l 奇数与偶数的运算规律:n 偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数n 偶数奇数=奇数n 偶数个奇数的和或差是偶数n 奇数个奇数的和或差是奇数n 偶数奇数偶数，奇数奇数=奇数,偶数偶数=偶数n 在加减法中偶数不变化运算成果奇偶性，奇数变化运算成果的奇偶性n 对于任意2个整数、有与奇偶性相似典型题解说：例1. 有一种数列：、1、2、3、5、8、1、2、34背面每一种数都等于它前面两个数的和,那么这个数列前项有多少个奇数？例2. 与否存在自然数和，使得？例3. 桌子
2、上有只开口向上的杯子，每次同步翻动其中的4只杯子,问能否通过若干次翻动，使得所有杯子的开口全都向下？（拓展)桌子上有只开口向上的杯子,每次同步翻动其中的只杯子,问能否通过若干次翻动，使得所有杯子的开口全都向下？（拓展)桌子上有5个开口向上的杯子,目前容许每次同步翻动其中的3个,问能否通过若干次翻动，使得个杯子的开口全都向下？(拓展）桌子上有5个开口向上的杯子,目前容许每次同步翻动其中的个,问能否通过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？例4. (拓展）在一次约会中,朋友们陆续来到，会面时，有人互相握手问好，主人不久乐，笑着说：“不管你们怎么握手,你们之中握过奇多次手的人肯定有偶数个”。请你想
3、一想,主人说的对吗？为什么?整除问题知识点阐明:l 带余除法基本关系式:,余数不不小于被除数l 位值原理：通俗地讲就是,一种多位数可以用它每一位上的数字来表达。例:l 特殊数的整除鉴定:n 一种数的末位能被2(或5）整除，这个数就能被2（或5）整除n 一种数的末两位能被4（或25)整除，这个数就能被4（或5）整除n 一种数的末三位能被8（或125）整除,这个数就能被8(或125）整除n 一种数的各位数字之和能被3(或9）整除，这个数就能被3（或9)整除n 一种数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被1整除,这个数就能被1整除n 一种数的末三位与末三位此前的数字构成的数之差能被7、1或
4、3整除,这个数就能被、1或3整除n 一种数从右向左,每两位一截得到若干个两位数（若该数由奇数个数字构成，会有一种一位数)，若这些数之和能被99整除,这个数就能被99整除l 简朴的整除性质：n 性质1：如果,那么n 性质2:如果，那么n 性质3：如果，那么，典型题解说：例1. 在一种除法算式中，如果商是16,余数是，那么被除数与除数之和最小是多少?例2. 如果，那么等于多少?例3. 已知九位数既是的倍数,又是11的倍数，那么这个九位数是多少?例4. 已知四十一位数能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?例5. 已知:,则四位数是多少？质数与合数知识点阐明:l 质数与合数的概念:n 特殊的质数与合
5、数u 0和1既不是质数也不是合数，因此,我们可以说，自然数可以提成三部分,即：0和1,质数，合数u 最小的质数是2,最小的合数是4u 常用的10以内的质数:2,3，5,，11,13，,19，23，29,31,37,41，43,7，5,5，61，67,71,73，79,83，89，97n 质数的鉴定：“持续小质数试除法”l 质因数分解:n 质因数分解：把一种合数写成几种质数相乘的形式，叫做分解质因数。分解质因数的基本措施是短除法n 完全平方数：一种合数分解质因数后,每个质因数的次数都是2的倍数，那么这个合数就叫做完全平方数n 完全立方数：一种合数分解质因数后,每个质因数的次数都是3的倍数,那么这
6、个合数就叫做立方数典型题解说:例1. 已知、都是质数，并且，则等于多少?例2. 一种长方体的长、宽、高是持续的个自然数,它的体积是3927立方厘米,那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？例3. 已知8个数为：1、3、3、30、5、3、143、169，试将它们平均提成两组,使得两组数的乘积相等。例4. 算式的成果的末尾有多少个持续的0？（拓展)算式的成果的末尾有多少个持续的0?例5. 一种正整数,加上100后的成果是一种完全平方数,加上8后的成果也是一种完全平方数，那么这个正整数是多少?约数与倍数知识点阐明：l 约数个数与约数和:n 约数个数:分解质因数后，将每个质因数的次数加1后连乘n 约数和
7、：分解质因数后,将每个质因数依次从零次幂加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘l 最大公约数:,那么,n 短除法n 质因数分解法l 最小公倍数：，,那么n 短除法n 质因数分解法l 辗转相除法：典型题解说：例1. 有20个不同约数的自然数最小是多少?例2. 房间中有100盏灯，依次编号1到1,现把100个学生也依次编号为到10，然后这100个学生依次进房间拉灯，规定每个学生只拉灯号是自己学号的倍数的灯（如号同窗依次拉7号、1号、21号9号灯),10个同窗所有拉过后,亮着的是第几号灯？例3. 两个整数、的最大公约数是，最小公倍数是,并且已知不等于1，也不等于或,，那么等于多少？例
8、4. 有一根长厘米的绳子，从左端开始,每隔3厘米做一种记号，每隔4厘米也做一种记号,然后将标有记号的地方剪断,则绳子共被剪成多少段?例5. 从一张长毫米、宽847毫米的长方形纸片上,剪下一种边长尽量大的正方形,如果剩余的部分不是正方形,那么在剩余的纸片上再剪下一种边长尽量大的正方形。按照上述过程不断反复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米?余数问题知识点阐明：l 特殊数的余数：n 求一种数除以2、4、8、5、2、125、3、9、7、11、13的余数可以运用这些数的整除鉴定n 一种完全平方数除以3的余数只能是或n 一种完全平方数除以4的余数只能是或1n 一种完全平方数除以5的余数只能是或1或4l
9、余数定理：n 余数的加法定理：和的余数等于余数的和的余数n 余数的乘法定理:乘积的余数等于余数的乘积的余数l 同余定理：n 若两个整数、被自然数除有相似的余数，那么称、有关模同余，用式子表达为:，读作“同余于，模”n 若，则或典型题解说：例1. 在数列1、11、11、中,与否存在完全平方数？例2. 和是两个自然数,，已知、除以7的余数分别是9和0，求、分别除以17的余数。例3. 小明心里想了一种正整数，并且求出了它分别被14和21除后所得的余数,已知这两个余数的和是3,则该整数被42除的余数是多少?例4. 有一种两位整数,除39、51、147所得的余数都相似,求这个数。(拓展)一种不小于10的自然数清除90、64后所得的两个余数的和等于这个自然数清除20后所得的余数，则这个自然数是多少?例5. 一种自然数，除以5余,除以8余2，除以9余2,这个自然数最小是多少？(拓展)一种自然数,除以余2，除以8余5，除以9余6,这个自然数最小是多少？（拓展）一种自然数，除以余2,除以8余5,除以9余5，这个自然数最小是多少？
