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1、三角函数式在解三角形中的应用题目 高中数学复习专题讲座三角函数式在解三角形中的应用 高考要求 三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 重难点归纳 (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化； (3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 典型题例示范讲解 例1在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶P北设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北B30东，俯角为30的B处，到11时10
2、分又测得C该船在岛北60西、俯角为60的C处。 西东D(1)求船的航行速度是每小时多少千米； A(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 命题意图 本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力 知识依托 主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系 错解分析 考生对方位角识别不准，计算易出错 技巧与方法 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题 解 (1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB=3 (千米) 在RtPAC中，APC=30，AC=在ACB中，CAB=30+60=90 3 (千米
3、) 3BC=AC2+AB2=(301=230(千米/时)363230)+(3)2=33 (2)DAC=9060=30 第1页 共8页 sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=AB=BC3303=310 10sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30=310 10313(33-1)10-1-(10)2= 221020在ACD中，据正弦定理得ADAC， =sinDCAsinCDA3310ACsinDCA9+3310AD= =sinCDA13(33-1)10209+3答 此时船距岛A为千米 13例2已知ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=
4、cosf(x)=cosB(A-C，211) +cosAcosC(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域 命题意图 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力 知识依托 主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题 错解分析 考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题 技巧与方法 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意|A-C|的2范围 解 (1)
5、A+C=2B，B=60，A+C=120 第2页 共8页 A+CA-Ccos1cosA+cosC22f(x)=2cosAcosCcos(A+C)+cos(A-C)2cos=x1-+2x2-12=2x, 24x-3A-CA-C1|60，x=cos(，1 2223331又4x230，x，定义域为(，)(，1 22220|(2)设x1x2， f(x2)f(x1)=2x24x2-32-2x14x1-32=2(x1-x2)(4x1x2+3)(4x1-3)(4x2-3)22， 13若x1，x2(,)，则4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，22f(x2)f(x1)0 3，1，则4x123
6、0 24x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0 即f(x2)f(x1)，若x1，x2(313,)和(，1上都是减函数 22211(3)由(2)知，f(x)f=或f(x)f(1)=2 221故f(x)的值域为(，)2，+) 2即f(x2)f(x1)，f(x)在(例3已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B 112A-C+=-，求cos的值 cosAcosCcosB2解法一 由题设条件知B=60，A+C=120 设=A-C，则AC=2，可得A=60+，C=60， 2所以1111+=+ cosAcosCcos(60+a)cos(60-a)第3页 共8页 =111+12
7、cosa-32sina2cosa+32sina=cosa1=cosa, cos2a-3sin2344acos2a-4依题设条件有cosa=-2cos2a-3cosB, 4QcosB=12,cosa=-22.cos2a-3 4整理得42cos2+2cos32=0(M) (2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30， 2cos2=0A-C2 从而得cos2=2 解法二 由题设条件知B=60，A+C=120 Q-2cos60=-22,11cosA+cosC=-22 把式化为cosA+cosC=22cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式，式可化为 2cosA+C2cosA-C2=-2c
8、os(A+C)+cos(A-C) 将cosA+C112=cos60=2，cos(A+C)=2代入式得 cosA-C2=22-2cos(A-C) 将cos(AC)=2cos2(A-C)21代入 42cos2(A-CA-C2)+2cos232(2cosA-C2-22)(22cosA-C2+3)=0, 第4页 共8页 ， ， ， =0，(*)， Q22cosA-CA-C+3=0,2cos-2=0, 22从而得:cosA-C2=. 22学生巩固练习 1 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+
9、sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tanACAC+tan+3tantan的值为_ 22223 在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=4，3sinB=4，则cos2(B+C)=_ 54 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 5 如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的rh夹角的正
10、弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成qsinq反比，即I=k2，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，Rr那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？ 6 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B+C7-cos2A= 22(1)求角A的度数； (2)若a=3，b+c=3，求b和c的值 7 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=p2，试求A、B、C的值 8 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值 第5页 共8页 参
11、考答案 1 解析 其中(3）(4）正确 答案 B 2 解析 A+B+C=，A+C=2B， A+C=2pA+CACAC,tan=3,tan+tan=3(1-tantan)322222ACAC故tan+tan+3tantan=3.2222答案 3 3 解析 A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180 43，sin(2A+C)= 5543C为最大角，B为锐角，又sinB= 故cosB= 5543即sin(A+C)=，cos(A+C)= 5524cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=， 25527cos2(B+C)=2cos2(B+C)1= 625527答案 625cos(2
12、A+C)=4 解 如图 连结BD，则有四边形ABCD的面积 AS=SABD+SCDB=11ABADsinA+BCCDsinC 22BA+C=180，sinA=sinC 故S=OCD11(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA 22由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA 在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC 2016cosA=5248cosC，cosC=cosA， 64cosA=32，cosA=1， 2又0A180，A=120故S=16sin120=83 5 解 R=rcos，由此得 1co
13、sqp=,0q， rR2第6页 共8页 sinqsinqcos2qkI=k2=k=(sinqcos2q) 22rRR2I2=(k2k223222)2sinq(1-sinq)(1-sinq)22RR3k2323,等号在sinq=时成立,此时h=Rtanq=RR2932由此得IB+C7-cos2A=及A+B+C=180,得:22721-cos(B+C)-2cos2A+1=,4(1+cosA)-4cos2A=521即4cos2A-4cosA+1=0,cosA=,2Q0A180,A=606.解:(1)由4sin2b2+c2-a2(2)由余弦定理得:cosA=2bc1b2+c2-a21QcosA=(b+c)2-a2=3bc.22bc2b+c=3b=1b=2将a=3,b+c=3代入上式得:bc=2 由得:或.bc=2c=2c=17 解 由a、
