《初中数学竞赛精品标准教程及练习39线段角的相等关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛精品标准教程及练习39线段角的相等关系（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（39）线段、角的相等关系一、内容提要证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）一. 证明两条线段相等常用的定理1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。2. 在两个三角形中，证明全等。3. 在平行线图形中应用平行四边形的性质用平行线等分线段定理4.运用比例式证明相等：若则x=y；若则x=y5.应用等量代换、等式
2、性质二.证明两个角相等常用的定理1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。2.在两个三角形中，证明全等或相似。3.在平行线图形中 用平行四边形的对角相等 行线的同位角相等，内错角相等 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 角（或等角）的余角（或补角）相等 用等量代换、等式性质二、例题例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”已知：梯形ABCD中，ABCD，AB求证：ADBC下面提供三种基本证法：1. 把BC、AD集中到同一个三角形，证它等腰三角形。辅助线是：过点D作DEBC，我们称它为“平移”BCDE是平行四边形，可证DAE为等腰三角形2. 以BC、AD为
3、对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，辅助线为：作两条高CM和DN，根据夹在平行线间的平行线段相等，可用角角边证全等。3. 由AB，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分别延长AD和BC交于P。PDCDCDCAEBANMBAB / 例2.已知：在梯形ABCD中，ABCD，AC和BD相交于O,AD、BC的延长线相交于P求证：PO平分AB证明：设PO延长线交AB于E，交CD于FABCD 得AE2BE2AE0，BE0AEBE，即PO平分AB例3.已知：ABC中，AC3AB，AF是A的平分线，过点C作CDAF，D是垂足求证：AD被BC平分A证明：以AD为轴作ADC的对称三角形AD
4、EB那么DEDC，AEAC3AB，BE2ABGF取BE的中点G，连结DGEC则DGBC，ABBGDAFFD，即AD被BC平分例4.已知：在ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点求证：PMPN证明：取AB中点Q，AC中点R连结PQ，PR，MQ，NRPQAC，PQACNRPRAB，PRMQPQMPRN（两边分别垂直）PQMNRP，PMPN例5.已知：四边形ABCD中ADBC，E，F分别是AB、CD的中点，延长AD，BC和EF的延长线分别交于G，H求证：AGEBHE证明：连结AC，取AC的中点P，连结PE，PFPE是ABC的中位线，PEBC，PEBC，同理
5、PFAD，PFADPEFBHE，PFEAGEADBC，PEPF，PEFPFEAGEBHE例6.已知：ABC中，ARt，点O是正方形BCDE对角线的交点求证：AO是A的平分线证明：过点O作OFOA交AC的延长线于FABC，FCO都是ACO的补角ABCFCOAOB，FOC都是AOC的余角AOBFOC又OBOCABOFCOAOFO，FOAF45AO是A的平分线（FCO是ABC绕点旋转90后的位置）又证：BACBOC180A，B，O，C四点共圆，过ABOC四点作辅助圆，在这个圆中弦OB弦OC弧OB弧OC圆周角BAOOAC即AO是A的平分线三、练习391. 在等边ABC的边AB，BC，CA上分别截取AD
6、BECF，连结AE，BF，CD它们两两相交于P，Q，R，则PQR也是等边三角形2. 已知：如图ABAC，ADAE求证：AF平分BAC3. 如图P，Q，R是等边三角形ABC三边的中点，M是BC上的任意点，以PM为一边作等边三角形PMN，则RNQM4. 如图ABD，BCE都是等边三角形，ADEF是平行四边形，则CAF也是等边三角形5. 四边形ABCD中，ACBD，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF和AC，BD相交所成的两个锐角相等6. 锐角三角形ABC中，以AB，AC为边作两个正方形ABDE，ACFG，高AH的延长线交EG于M，求证：MEMG，AMBC7. ABC的CRt，A30，以AB，A
7、C为边向形外作等边三角形ABD，ACE，求证DE被AB平分8. 等腰直角三角形ABC中，ARt，BE是中线，ADBE交BC于D，交BE于F，求证：AEBDEC9. 等腰直角三角形ABC中，ARt，ADBC，且BDBC，设BD和AC相交于E，求证CDCE10. ABC中，AD是高，若ABDCACBD，则ABAC11. D，E分别在等边三角形ABC的边BA，BC的延长线上，ADBE求证DCDE12. 正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上且EAF45，AH是 AEF的高，求证AHAB13. 梯形ABCD中，ABCD，MNAB交AD于M，交BC于N交AC于E，交BD于F则MENF14. 正方形A
8、BCD中，E，F是AB延长线上的两个点，BEBC，BFBD，DF交BC于G，交CE于H求证：CHCB，HGHF练习39参考答案：1. 先ABEBCFCAD，2.三次全等，3.证PQMPRN4.ABCDBE，BAC DAFBDEDEF601801. 取CD的中点M，连结ME，MF6.EAMABH5. 作ABD的高DF，证BDFBAC6. 作斜边上高，找全等三角形7. 求出DBC30，有两种图形8. 延长BC到N，使CNAB，延长CB到M，使BMAC，证AMDAND，CANMBA9. 延长BE到F，使EFBC10. 延长CB到G使BGDF13.证明14.CDFFBDFDHC22.5 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
