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1、新教材适用高中选修数学课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y=x2的焦点关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-1)C.D.【解析】选A.y=x2x2=4y,焦点为(0,1),其关于x-y-1=0的对称点为(2,-1).2.(2015全国卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=1
2、6-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.3.已知抛物线C:x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)B.C.(-,-2)(2,+)D.(-,-)(,+)【解析】选D.显然t0,直线AB的方程为y=x-1,代入抛物线方程得2tx2-4x+t=0.由题意=16-8t20,解得t.【补偿训练】设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线斜率的取值范围是()A.B.-2,2C.-
3、1,1D.-4,4【解析】选C.准线x=-2,Q(-2,0),设y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时,x=0,即交点为(0,0),当k0时,0,-1k0或00)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()A.n=0B.n=1C.n=2D.n3【解题指南】借助抛物线及正三角形的对称性求解本题,注意数形结合.【解析】选C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和150,如图,所以正三角形的个数n=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于
4、点A(2,0),则抛物线的准线方程为(抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).【解析】由直线y=-2平行于抛物线的对称轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案:x=-27.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是.【解析】设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为P(x0,y0),由题意得消去y,整理得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0.所以x0=3,y0=x0-1=2.所以P(3,2).答案:(3,2)【一题多解】=4x2,=4x1,-=4x2-4x1,=4.所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0
5、+1=3.故中点为P(3,2).答案:(3,2)8.(2015吉林高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若=,则p=.【解析】由题知准线l为x=-(p0),过点M且斜率为的直线为y=(x-1),则A,设B(x,0),由=可知M为AB的中点,又M(1,0),所以即代入y2=2px可知,p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【
6、解题指南】利用直线l与抛物线C相切,联立方程,由=0求实数b的值;由直线与圆相切求圆的方程.【解析】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因为直线l与抛物线C相切,所以=(-4)2-4(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.(2015济南高二检测)如图,已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且=0,=2.当点
7、A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.【解题指南】设出点M的坐标,利用=0,=2,求动点M的轨迹方程.【解析】设动点M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因为P(-3,0),所以=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),因为=0,所以(3,b)(a,-b)=0,即3a-b2=0.因为=2,所以(x-a,y)=2(a,-b),即x=3a,y=-2b.由得y2=4x.所以动点M的轨迹方程为y2=4x.【补偿训练】若动点P在y=2x2+1上移动,求点P与Q(0,-1)连线中点的轨迹方程.【解析】设PQ中点为M(x,y),P(x0,y0),则所以又因为y0=2+1,所以2y+1=8x2+1.
8、即y=4x2为所求的轨迹方程.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014辽宁高考)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.B.C.D.【解题指南】由直线与C相切求B点的坐标,由斜率公式求直线BF的斜率.【解析】选D.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以p=4.设直线AB的方程为x+2=m(y-3),与抛物线方程y2=8x联立得到y2-8my+24m+16=0,由题易知=0,解得m=-(舍)或m=2,这时B点的坐标为(8,8),而焦点F的坐标
9、为(2,0),故直线BF的斜率kBF=.2.(2014四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.【解析】选B.由题意可知,F.设A(,y1),B(,y2),所以=y1y2+=2,解得y1y2=1或y1y2=-2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y23,故最小值为3.【误区警示】本题在求解时常因忽略条件“点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧”导致解题错误.二、填空题(每小题5分,共10分)3.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若ABBC,则动点C的轨迹方程为
10、.【解析】=-(-2,y)=,=(x,y)-=.因为ABBC,所以=0,所以=0,即y2=8x.所以动点C的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x4.(2015漳州高二检测)已知过抛物线y2=4x焦点的一条弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2),则+=.【解析】弦AB是过焦点F(1,0)的弦,又过点(0,2),所以其方程为x+=1,2x+y-2=0与y2=4x联立得y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,+=.答案:【补偿训练】线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段AB的中点C到直线x+=0的距离是.【解析】线段
11、AB的中点C到准线x=-的距离为|AB|长的一半,则中点C到直线x+=0的距离为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.【证明】设kAB=k(k0),因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以kAC=-k(k0),AB的方程是y=k(x-4)+2.由方程组消去y后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因为A(4,2),B(xB,yB)的横坐标是上述方程的解,所以4xB=,即xB=.以-k代换xB中的k,得xC=,所以kBC=-.所以直线B
12、C的斜率是定值.【补偿训练】如图,已知AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O,A,B两点都在抛物线上,且AOB=90.(1)证明直线AB必过一定点.(2)求AOB面积的最小值.【解析】(1)设OA所在直线的方程为y=kx(k0),则直线OB的方程为y=-x,由解得或即A点的坐标为.同理由解得B点的坐标为(2k2,-2k).所以AB所在直线的方程为y+2k=(x-2k2),化简并整理,得y=x-2.不论实数k取任何不等于0的实数,当x=2时,恒有y=0.故直线过定点P(2,0).(2)由于AB所在直线过定点P(2,0),所以可设AB所在直线的方程为x=my+2.由消去x并整理得y2-2my-
13、4=0.所以y1+y2=2m,y1y2=-4.于是|y1-y2|=2.SAOB=|OP|(|y1|+|y2|)=|OP|y1-y2|=22=2.所以当m=0时,AOB的面积取得最小值为4.6.(2014安徽高考)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p10)和E2:y2=2p2x(p20),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1A2B2.(2)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.【解题指南】(1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点A1,A2,B1,B2的坐标,利用向量证明平行关系
