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1、东北师大附中2011-2012学年高三数学(理)第一轮复习导学案058用样本估计总体编写教师:杨艳昌审稿教师：刘彦永一、知识梳理(一)用样本的频率分布估计总体分布1.频率分布、频率分布表、频率分布直方图：频率分布表和频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例的大小的角度来表示数据分布的规律.它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况.2。画频率分布直方图的步骤：求版置(即一组数据中园天晴号最小值的差(2)决定|组距与组飒;(3)将数据份纲;(4)列|频率分布表(5)画颜率分布宜万西.3o频率分布折线图和总体密度曲线：(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到
2、频率分布折线图;资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于淋条光滑曲线即为总体密度曲线.4。茎叶图：茎是指柜间的一列数，叶是从国的旁边生长出来的数.（二）用样本的数字特征估计总体的数字特征5 .平均数：对于一组数据，王，平均数天=土土工土二%.n6 .众数：一组数据中出现次数匾国的数.7。中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则慑中间的数射中位数;若有偶数个数，则|中间两数的平均数屉中位数.8 .标准差：对于一组数据再,W,，须，标准差5=小；（内-斤+。一刀尸,标准差是
3、样本数据到平均数的一种平均距离.9 .方差：对于一组数据司,电,土,方差=（七灭f+H-菊？+（x一天）.10 .利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：在频率分布直方图中，众数是其|最高矩形底边中点的横坐标|；中位数左边和右边的直方图的面积相翱资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除;平均数的估计值等于频率分布直方图中悔个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横座菽利.二、题型探究探究一：如何求频率分布的有关数据；画频率分布直方图；用样本频率分布估计总体分布例1某市2011年4月1日4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61,76,70,56,81
4、,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.（I）完成频率分布表；（n）作出频率分布直方图；（HI）根据国家标准，污染指数在。50之间时，空气质量为优；在51100之间时，为良；在101150之间时，为轻微污染；在151200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.解：（I）首先根据题目中的数据完成频率分布表：（II）作出频率分布直方图：分组频数频率41, 51)223051, 61)113061, 71)443071, 81)663081,
5、 91)10103091, 101)5530101, 111)2230（皿）答对下述两条中的一条即可:频率根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数: 该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的二,13有26天处于良的水平，占当月天数的二，*14处于优或良的天数共有28天，占当月天数的资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除说明该市空气质量基本良好. 轻微污染有2天，占当月天数的g污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天17数的可，超过50%。30说明该市空气质量有待进一步改善。例2为了了解高三
6、年级学生中女生的身高(单位)情况，某中学对高三年级女生身高进行了一次测量,所得数据整理后，列出了频率分布表(如下表)：(I)求出表中所表示的数分别是多少?(H)画出频率分布直方图，并利用它估计全体高三年级女生身高的众数、中位数和平均数；(ID)试问：全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？并估计高三年级学生中女生的身高在161。5cm以上的概率.解：（I）M =!= 50,0.02/= 50-1-4-20-15-8 = 2；N = l, n = = = 0.04.M 50(H)频率分布直方图如图，0.1000.0750.0400.0200.0100.005,频率 碓 /VL145.5 149.5
7、 153.5 157.5 16L5 165.5分组频数频率145。5149.510.02149O 5153.540.08153。5157。5200.40157O 5-161o 5150o 30161.5-165.580.16165。5 169。5mn合计N众数是其最高矩形底169.5 身高（cm） 边中点的横坐标，即153.5 + 157.5 1y 匚=3 3 32中位数左边和右边的直方图的面积相等，而，频率分布直方图左边第一个小矩形的面积为002,第二个小矩形的面积为0。08,第三个小矩形的面积为0。40,这三个小矩形面积的和恰好等于0。5,，中位数为157.5；平均数的估计值等于频率分布直
8、方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和x=0.02x147.5+0.08x151.5+0.40x155.5+0.30x159.5+0.16x163.5+0.04x167.5=157.98.（印）在153。5157。5cm的范围最多,估计在161。5cm以上的概率为0.16+0.04=02探究二：茎叶图的绘制与运用例3随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：。），获得身高数据的茎叶图（如图）（I）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（口）计算甲班的样本方差；(ID)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173。的同学，求身高为176。的同学被抽中的概率。解：
9、(I )乙班平均身高高于甲班;甲班 乙班2 18 1_158 + 162 + 163 + 16x =(H)甲班的样本的平均数为99101703689甲班的样本方差为8832162588159需(158170y+(162170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168170y+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2=57(HI)设身高为176ct的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于17357的同学有：(181,173).(181,176).(181,178)、(181,179)、(179
10、,173)、(179,176)、(179,178).(178,173)、(178,176)、(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；42.p(A)=-105例4某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位:千克)如下：品种A：357,359,367.368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,443,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385力86,391,392,39
11、4,394,395,397,397,400,40L401,403,406,407,410,412,415,416,422,430。(I)绘制茎叶图；(II)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点？m)通过观察茎叶图，对品种a与b的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。解：（I）茎叶图如图所示理现有的数据不仅可以看出数据 可以看出每组中的具体数据.（111）通过观察茎叶图，可以计算 亩产量为411。1千克，品种B的 8千克油此可知，品种A的平均亩 均亩产量高，但品种A的亩产量 B的亩产量比较集中在平均产量 三、方法提升（1）用频率分布直方图解决相关AB9735873615371/83835 692
12、： 9124457750, 001136754241025673314224004： 053314145（口）用茎叶图处 的分布状况，而且出品种A的平均每 平均亩产量为397。 产量比品种B的平 不够稳定，而品种 附近。问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键。频率分布直方图有以下几个要点：纵轴表示频率/组距；频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1,即频率之和为L（在绘制小矩形时，宽窄要一致）（2）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小。标准差、方差越大，数据的离
13、散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。（3）几种表示频率分布的方法的优点与不足：频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便；频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了;频率分布折线
14、图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小,那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线；用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图显得不太方便了.五、课时作业一、选择题(1)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A97(A)9L5和91.5(B)91.5和929316402(C)91和91.5(D)92和92(2)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495住在第II菅区，从496到600在第III营区，三个营区被抽中的人数依次为B(A)26,16,8,(B)25,17,8(C)25,16,9(D)24,17,9(3)样本中共有五个个体，其值分别为1,2,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为D(A)(B)|(C)72(D)2(4)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的,，且样本容量
