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1、 1 1第4讲推理与证明1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现2直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题热点一归纳推理1归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理2归纳推理的思维过程如下：例1(1)(20xx日照市模拟)给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n(nN*)个等式：_. n个根号答案2cos 解析因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足，所以2cos.(2)
2、(云南曲靖一中月考)如图是一个三角形数阵：1按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为_答案解析前15行共有120所求为a122.思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想跟踪演练1(1)(20xx贵州省贵阳市第一中学适应性考试)观察下列不等式：，4，12，照此规律，第n个不等式为_答案解析由归纳推理可得，第n个不等式为b0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦
3、P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为_答案1解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为1.思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方
4、法上的类比跟踪演练2(1)(20xx哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有_.答案解析由题设可得 (其中是射线PL与平面PAB所成的角)(2)已知双曲正弦函数sh x和双曲余弦函数ch x与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_答案ch(xy)ch xch ysh xsh y(答案不唯一)解析ch xch ysh xsh y(exyexyexy
5、exyexyexyexyexy)(2exy2e(xy)ch(xy)，同理可得ch(xy)ch xch ysh xsh y，sh(xy)sh xch ych xsh y，sh(xy)sh xch ych xsh y.热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法例3已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，求证：bnbn2b.(1)解由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的
6、等差数列故an1(n1)1n.(2)证明由(1)知，ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(b2b1)b12n12n2212n1 (n2)又b11211，所以bn2n1 (nN*)因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn21)，证明：方程f(x)0没有负根证明(1)要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)假
7、设x0是f(x)0的负根，则x00，且x01，所以解得x02，这与x00矛盾，故方程f(x)0没有负根真题体验1(20xx全国改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则可推断知道自己成绩的是_答案乙、丁解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀
8、”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩2(20xx山东)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.答案n(n1)解析观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n1.3(20xx北京)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_；该小组人数的最小值为_答案612解析(1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人
9、数少1人，所以女学生人数的最大值为716.(2)设男学生人数为x(xN*)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x1，教师人数为x2.又2(x2)x，解得x4，即x5，该小组人数的最小值为54312.押题预测1将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)，分别计算各组包含的正整数的和如下：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，试猜测S1S3S5S2 015_.押题依据数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想等，考查考生归纳猜想能力答案1 0084解析由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S
