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1、完美版圆锥曲线知识点总结范文圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、 的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭 圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。椭圆的标准方程为：（）（焦点在某轴上）或（）（焦点在y轴上）。注：以上方程中的大小，其中； 在和两个方程中都有的条件， 要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示 焦点在轴上的椭圆； 当时表示焦点在轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所 围成的矩形里； 对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以 若点在曲线上时，点也在曲线上
2、，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方 程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关 于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准 方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中，且，即； 离
3、心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。.，., 且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁； 反之，越接近于， 就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦 点重合，图形变为圆，方程为。2. 双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零 常数的动点轨迹是双曲线（）。注意：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时 为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射线；当时， 不表示任何图形； 两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。（2）双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范 围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。 对称性：
4、双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴 是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双 曲线的中心。 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程 里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线 的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个 顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴 长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这 两
5、条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时， 与这两条直线逐渐接近。 等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一， 即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交 点在轴，当时焦点在轴上。 注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标 轴也变了。3. 抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线
6、l上）。定点F叫做抛物 线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在某轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标 准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点 坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性 轴轴轴轴顶点离心率说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴 的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义
7、：是焦点到准线的距离。4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线： 在平面直角 坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与 一个二元方程f（某,y）=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的 坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是f（某,y）=0，则点P0（某0,y0）在曲线C上f（某0,y0）=0；点P0（某0,y0）不在曲线C上f（某0,y0）N0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1（某,y）=0,f2（某,y）=0,则点P
8、0（某0,y0）是C1，C2的交点方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点； 方程组没有实数解， 曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集MIIOMI=r，其中定点O为圆心，定 长r为半径.2、方程：（1）标准方程：圆心在c（a,b），半径为r的圆方程 是（某-a）2+（y-b）2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是某 2+y2=r2（2） 一般方程：当D2+E2-4F0时，一元二次方程某2+y2+D某 +Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程某2+y2+D某 +Ey+F=0化为（某+）2+（y+）2=当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-,- ）;当D
9、2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（某0,y0），lJ|MC|Vr点M在 圆C内，IMCI=r点M在圆C上，|MC|r点M在圆C内，其中|MC I二。(4)直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线A某+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。三、 圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P (某,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定
10、直线l的距离之比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直 线l称为准线，正常数e称为离心率。当0VeV 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线。四、 椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2.与定点和直线的 距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1)1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MIIMF1+ I MF2 I =2a, I F1F2 |0）的焦点坐标是（,0），准线方程某
11、二-，开口向右；抛物线=-2p某（p0）的焦点坐标是（-,0），准线方程某二，开口向左； 抛物 线=2py（p0）的焦点坐标是（0,），准线方程y=-，开口向上； 抛物 线=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.（2）抛 物线二2p某（p0）上的点M（某0,y0）与焦点F的距离； 抛物线=-2p某 （p0）上的点M（某0,y0）与焦点F的距离（3）设抛物线的标准方程为=2p 某（p0），则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点 到准线的距离为p.（4）已知过抛物线二2p某（p0）焦点的直线交抛物线于 A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A（某1,y1）,
12、B（某2,y2），则弦长 =+p或（a为直线AB的倾斜角），（叫做焦半径）.五、坐标的变 换： （1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原 点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲 线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2） 坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这 种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系某Oy 中的坐标是（某,y），在新坐标系某Oy中的坐标是.设新坐标系的原 点O在原坐标系某Oy中的坐标是（h,k），则或叫做平移（或移轴）公
13、式.（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴椭圆+=1（ 土 c+h,k）某=+h 某=hy=k+=1（h,c+k）y=+k 某=hy=k 双曲 线-=1（c+h,k）某二 +k 某二hy=k-=1（h,c+h）y=+k 某=hy=k 抛物线（y- k）2=2p（某-h）（+h,k）某=-+hy=k（y-k）2=-2p（某-h）（-+h,k）某=+hy=k（某- h）2=2p（y-k）（h,+k）y=-+k 某=h（某-h）2=-2p（y-k）（h,-+k）y=+k 某二h 六、 椭圆的常用结论：1.点P处的切线PT平分APF1F2在点P处的外 角.2.PT平分 P
14、F1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的 轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的 圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的 圆内切.5 .若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6.若在椭圆外，则过作 椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆（a b0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦 点角形的面积为.8.椭圆（abO）的焦半径公式，（,）.9.设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFXNF.1
