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1、2023-2024学年浙江省金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2)，b=(x,1x)，若a/b，则x=()A. 2B. 13C. 3D. 232.下列四个命题中正确的是()A. 每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥3.已知复数z=(12i)(1+i)，其中i是虚数单位，
2、则z的虚部是()A. iB. iC. 1D. 14.已知a，b为非零向量，且满足b(ab)=0，则a2b在b上的投影向量为()A. bB. bC. 2bD. 2b5.已知ABC的三条边长分别为a，b，c，且(a+b)：(b+c)：(a+c)=12：13：15，则此三角形的最大角与最小角之和为()A. 3B. 23C. 34D. 566.已知平面直角坐标系下，ABC的三个顶点坐标为：A(1,1)，B(1,2)，C(3,5)，若ABC斜二测画法下的直观图是ABC，则ABC的面积为()A. 5 24B. 5 22C. 5 2D. 10 27.如图所示，在ABCD中，点E为线段AD上的中点，点F为线段
3、CD上靠近点C的三等分点，BE，BF分别与AC交于R，T两点.则()A. FT=16AB14ADB. BD=35BE+45BFC. AB=3BR+4DTD. AD=3AB4ER8.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC上的中线、高线、角平分线长分别是ma，ha，la，则下列结论中错误的是()A. ma=12 2(b2+c2)a2B. la=2bccosA2b+cC. ha= (b+c)2a2 a2(bc)22aD. SABC= 2(a2+b2)c2+(a2b2)2c44二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2均不为0
4、，复数z的共轭复数为z，则()A. z1z2=z1z2B. |z1+z2|=|z1|+|z2|C. z1z2=z1z2D. |z1z2|=|z1|z2|10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A. 若a=ccosB，则ABC是直角三角形B. 若a2+b2c20，则ABC是锐角三角形C. 若acosA=bcosB，则ABC是等腰三角形D. 若acosA=bcosB=ccosC，则ABC是等边三角形11.已知a，b为非零向量，且满足|a|=2，|ab|=1，则()A. a，b夹角的取值范围是0,6B. |b|的取值范围是1,3C. ab的取值范围是2,4D.
5、|a+b|的取值范围是3,5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知z=1+i(i是虚数单位)，则z4= _13.已知球O的体积为36，则球O的表面积为_，球O的内接正四面体的体积为_14.勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为2，点P为圆弧AB上的一点，且满足：SABP= 312，则PAPB+PBPC+PCPA的值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分
6、)已知复数z1=1+2i(1)若复数z1是方程z2+az+b=0的一个复数根，求实数a，b的值；(2)若复数z2满足z1z2=11z1，求|z2|.16.(本小题15分)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为1，BCCC1，点P为线段B1C1上的动点(1)若点P恰为线段B1C1上靠近点C1的三等分点，求三棱锥PA1BC和三棱柱ABCA1B1C1的体积之比；(2)求PA1+PC的最小值及此时B1P的值17.(本小题15分)设向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|3ab|=3(1)求|2a+3b|的值；(2)已知2a+3b与a32b的夹角的余弦值为 1133，求的值18.(本小题1
7、7分)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且满足b=2， 3bsinC+bcosC=a(1)求B；(2)若D，E为线段BC上的两个动点，且满足DAE=60，SABC= 3，求SADE的取值范围19.(本小题17分)对于平面向量ak=(xk,yk)(k=1,2,)，定义“F变换”：ak+1=F(ak)=(xkcosyksin,xksin+ykcos)，(0) (1)若向量a1=(2,1)，=3，求a2；(2)已知OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，且OA与OB不平行，OA=F(OA)，OB=F(OB)，证明：SOAB=SOAB；(3)若向量a4=a1，求答案和解析1.【答
8、案】B【解析】解：向量a=(1,2)，b=(x,1x)，a/b，则1(1x)=2x，解得x=13故选：B根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解本题主要考查向量共线的性质，属于基础题2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，如图：在三棱锥ABCD中，有AB=BC=CD=AD=a，AC=BD=b，该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误；对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等，该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误；对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确；对于D，以直角三角形的一条直角边所在直
9、线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误故选：C根据题意，举出反例可得A、B错误，由圆柱、圆锥的定义分析C和D，综合可得答案本题考查常见几何体的定义，涉及棱锥、棱柱、圆柱、圆锥的定义，属于基础题3.【答案】C【解析】解：z=(12i)(1+i)=3i，z的虚部为1故选：C直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题4.【答案】B【解析】解：a，b为非零向量，且满足b(ab)=0，则abb2=0，(a2b)b=ab2b2=b2，故a2b在b上的投影向量为：(a2b)bb2b=b故选：B结合投影向量的公式，即可求解本
10、题主要考查投影向量的公式，属于基础题5.【答案】B【解析】解：因为(a+b)：(b+c)：(a+c)=12：13：15，设a+b=12k，b+c=13k，a+c=15k，解得a=7k，b=5k，c=8k，令k=1，则a=7，b=5，c=8，由三角形中大边对大角，可得角C为最大角，B为最小角，由余弦定理可得cosA=b2+c2a22bc=25+6449258=12，而A(0,)，所以A=3，所以B+C=3=23故选：B由题意设a，b，c的值，判断出角C为最大角，角B为最小角，由余弦定理可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A的大小，进而求出B+C的大小本题考查余弦定理的应用，属于基础题6.【答
11、案】A【解析】解：根据题意，ABC的三个顶点坐标为：A(1,1)，B(1,2)，C(3,5)，则kAB=2111=12，kAC=5131=2，则有kABkAC=1，即直线AB与AC垂直，A=90，同时|AB|= 4+1= 5，|AC|= 4+16=2 5，故ABC的面积S=12|AB|AC|=5，则其直观图的面积S= 24S=5 24故选：A根据题意，由点A、B、C的坐标分析可得kABkAC=1，进而可得A=90，同时求出|AB|、|AC|的长，由此可得ABC的面积，结合直观图面积与原图面积的关系，分析可得答案本题考查平面图形的直观图，涉及三角形面积的计算，属于基础题7.【答案】C【解析】解：
12、选项A，因为AB/CD，且点F为线段CD上靠近点C的三等分点，所以FTBT=CFAB=13，所以FT=14FB=14(FD+DA+AB)=14(23ABAD+AB)=112AB14AD，即选项A错误；选项B，因为点E为线段AD上的中点，所以BE=12(BA+BD)，因为点F为线段CD上靠近点C的三等分点，所以BF=BD+DF=BD+23DC=BD23BA，联立消去BA，得BD=45BE+35BF，即选项B错误；选项C，因为AD/BC，且点E是AD的中点，所以ERBR=AEBC=12，所以BR=23BE，所以3BR+4DT=323BE+4(DF+FT)=2(AEAB)+4(23AB+112AB1
13、4AD)=AD2AB+3ABAD=AB，即选项C正确；选项D，因为ER=13EB=13(ABAE)=13(AB12AD)=13AB16AD，所以AD=2AB6ER，即选项D错误故选：C根据平面向量的基本定理，结合平行线的性质与平面向量的线性运算法则，逐一分析选项即可本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题8.【答案】D【解析】解：A：设AD为BC的中线，由中线定理可得：AB2+2AC2=12BC2+2AD2，可得AD= AB2+AC212BC22= 2(c2+b2)a22，即ma= 2(c2+b2)a22，所以A正确；B中，
14、设A=2，设AF为A的角平分线，所以BAD=CAD=，由三角形等面积法可得12ACABsin2=12ACAFsin2+12ABAFsin2，可得bc2sin2cos2=AF(b+c)sin2，所以AF=2bccosA2b+c，即la=2bccosA2b+c，所以B正确；设AE为BC边上的高，由等面积法可得12bcsinA=12aAE，所以AE=bcsinAa，因为sinA= 1cos2A，由余弦定理可得cosA=b2+c2a22bc，所以1cos2A=1(b2+c2a2)2(2bc)2=(2bc+b2+c2a2)(2bcb2c2+a2)(2bc)2，所以AE=bc12bc (b+c)2a2a2(bc)2a= (b+c)2a2a2(bc)22a，即ha= (b+c)2a2a2(bc)22a，所以C正确；D中，由C可得SABC=12aha= (b+c)2a2a2(bc)24，所以D不正确故选：D
