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1、内装订线外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_人教版2023-2024学年度第二学期期末测试卷及答案高二 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知数列，则该数列的第2024项为（ ）A. B. C. D. 3. 函数的导数（ ）A. B. C. D. 4. 若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（ ）A. 15B. 15C. 45D. 455. 已知函数，则下图对应的函数解析式可能是（
2、 ） A B. C. D. 6. 设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，若和存在唯一的“隔离直线”，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列满足，设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比
3、数列的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知，则（ ）A. B. C D. 11. 已知函数，则（ ）A. 当时，为增函数B. C. 当时，的极值点为0D. 12. 已知函数，定义域均为，为偶函数，且当时，则（ ）A. 为偶函数B. 的图象关于点对称C. D. 8是函数的一个周期三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知集合，则_14. 若数列是首项为，公比为的等比数列，则_15. 已知函数若，则_16. 已知，且，则的最小值为_四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第1822题每题12分，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 记等差数列的前项和为，已
4、知，（1）求的通项公式；（2）求以及的最小值18. 已知函数.（1）若是的极值点，求；（2）当时，在区间上恒成立，求的取值范围.19. 已知函数，满足（1）求的值；（2）若，求的解析式与最小值20. 已知是定义在上的奇函数，且当时，（1）求；（2）解不等式21. 已知公差为的等差数列的前项和为,且.（1）求的通项公式;（2）若数列前项和为,证明:为定值.22. 已知函数（1）求的图象在点处的切线方程；（2）证明：参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定求解作答.【详解】命题“
5、，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是：，.故选：B2. D【解析】【分析】求得数列的通项公式，即可得出结果.【详解】该数列的通项公式为，所以.故选：D.3. B【解析】【分析】根据导数公式可得.详解】由知故选：B4. D【解析】【分析】先设等比数列为，根据前两项和求出首项，从而找到等比数列的第3项.【详解】设该等比数列为，则，所以故选：D.5. D【解析】【分析】根据给定的函数，借助对勾函数的单调性、取特值判断AB；利用奇偶函数性质判断C；推理判断D作答.【详解】对于A，函数在上单调递增，而在上单调递增，因此函数在上单调递增，不符合题意，A不是；对于B，因为，因此是
6、函数的零点，不符合题意，B不是；对于C，显然函数是偶函数，而函数是偶函数，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，C不是；对于D，因此，定义域为，且在上单调递减，并且是奇函数，图象在第一 、三象限，符合题意，D是.故选：D6. A【解析】【分析】由求出的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合可得结论.【详解】若，则；当时，.所以，对任意的，则，此时，数列是等差数列，故“”能得出“是等差数列”；若“是等差数列”，不妨设，则，即“是等差数列”不能得出“”.所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选：A.7. D【解析】分析】设出切点坐标，由公切线列出等量
7、关系，求解即可.【详解】当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，且“隔离直线”公切线.设切点为，则即所以.故选：D.8. A【解析】【分析】根据给定条件，求出数列，的通项，再求出数列的最大项作答.【详解】由数列满足，得是首项为1，公比为的等比数列，于是，当，时，当且仅当时取等号，当时，因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，则当或时，而任意的，恒成立，则，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分
8、，部分选对的得2分，有选错的得0分9. BD【解析】【分析】取，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断BD选项；取可判断C选项.【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，对任意的，对于A选项，不妨取，则数列、都是等比数列，但对任意的，故数列不是等比数列，A不满足条件；对于B选项，即数列为等边数列，B满足条件；对于C选项，当时，此时，不是等比数列，C不满足条件；对于D选项，故为等比数列，D满足条件.故选：BD.10. AC【解析】【分析】利用三角函数的符号法则判断的正负，利用对数运算法则及对数函数性质比较与1的大小，再比较正数与1的大小作答.【详解】显然，则，所以，A正确，B错误，C正确，D错误
9、.故选：AC11. ACD【解析】【分析】对于A，对函数求导后判断，对于BD，利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，对于C，直接求解函数的极值点即可.【详解】当时，由，得，所以为增函数，所以A正确当时，由，得，当时，当时，所以的极小值点为0，所以C正确当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，所以B错误，D正确故选：ACD12. ABD【解析】【分析】根据给定等式推理可得，结合为偶函数，再逐项判断作答.【详解】依题意，即有，两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；由为偶函数，得，于是，有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；由，得，而，因此，为
10、偶函数，A正确；由当时，得，而，即有，C错误.故选：ABD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合N，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得，即，而，所以故答案为：14. 【解析】【分析】利用等比数列通项公式求解即可.【详解】依题意可得，则，即故答案为：15. 3【解析】【分析】利用，求得值.【详解】根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故答案为：3.16. 9【解析】【分析】变形给定等式，再利用均值不
11、等式求解作答.【详解】由，得，当且仅当时取等号，因此，解得，即，由，而，解得，所以当时，取得最小值9.故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （1）； （2），的最小值为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出通项作答.（2）由（1）结合等差数列前n项和公式求解作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，于是，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由（1）知，显然，当且仅当时取等号，所以，的最小值为.18. （1） （2）【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据函数的极值点，求，再回代函数，求函数的导数，进行验证；（
12、2）首先求函数的导数，根据，确定函数在区间的单调性，将不等式恒成立，转化为，即可求实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以.因为是的极值点，所以，解得.当时，.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，故是的极小值点.综上，.【小问2详解】因为，所以.令，得，令，得或，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为在区间上恒成立，所以解得.又因为，所以，故的取值范围是.19. （1）11； （2），.【解析】【分析】（1）根据给定条件，取代入计算作答.（2）求出的解析式，再利用配凑法求出的解析式，并求出最小值作答.【小问1详解】因为函数，满
13、足，所以当时，.【小问2详解】由，得，于是，即，因此，当时，所以的解析式是，最小值为.20. （1） （2）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性和部分解析式即可求出，则得到最后答案；（2）根据复合函数单调性函数奇偶性即可得到在上的单调性，则得到不等式，解出即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，则，则.【小问2详解】当时，因为为单调增函数，根据复合函数单调性知为单调减函数，又因为为单调减函数，所以函数为单调减函数，又因为是定义在上的奇函数，所以是在为单调减函数，因为，所以，解得，所以不等式的解集为.21. （1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式求出,再用等差数列的通项公式写出即可;（2）根据（1）知,利用裂项相消法求出即可证明.【小问1详解】由题意得,解得,故.【小问2详解】因为,设,所以,所以,即为定值.22. （1） （2）证明见解析【解析】
