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1、 学科代码： 学号： 贵州师范大学（本科）毕 业 论 文 题 目：浅谈数列通项公式的求法 学 院：数学与计算机科学学院 专 业：数学与应用数学专业 浅谈数列通项公式的求法摘要: 高中的数学中，数列的通项公式是学习数列的重难点，是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式，有了解析式便可研究函数的性质;有了数列的通项公式，便可求数列的任一项和前n项的和等。因此，在解题的过程中，求数列的通项公式是解题的突破口，关键点。同时，求数列的通项公式，方法灵活多样，对于培养学生的贯彻能力，理解能力和逻辑思维能力有着十分重要的作用。本篇论文就我对数列的学习，研究及近来来数列的考察方向，对通项公式的种种求法做简单
2、浅谈。关键字：数列，通项公式，求法。Abstract: the high school mathematics, the sequence of general term formula is to study the difficult point of the sequence, is one of the core content of the sequence, it as an analytic expression of function, the analysis method to study the properties of the function; A series o
3、f general term formula, then ask for the sequence of item before any item and n and etc. Therefore, in the process of problem solving, sequence of general term formula are the breakthrough to problem solving, key points. At the same time, the sequence of general term formula, the method is flexible,
4、 to develop the students ability to carry out, understanding ability and logical thinking ability has a very important role. This paper series on my study and research and the recent series of direction, all kinds of method of general term formula to do a simple introduction.Key words: sequence, the
5、 general term formula of calculation methods.1. 引言数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列的通项公式求出数列的任一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项及是第几项等问题。数列是高中教材的重要内容。由数列的递推公式求数列通项公式的解题方法是数学中争对性较强的一种解题方法，是培养学生思维深刻性的极好的范例。在学习数列时，如果我们把一个数列的各项之间的内在规律搞清楚，那么我们就能抓住最重要的信息来把握整个数列。数列通项公式的通项公式揭示了第n项与项的序号的关系。掌握此规律
6、有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促使学生对知识的进一步掌握；有利于培养学生的观察力，理解力，创造力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣。数列是高一数学中教与学的重点和难点，是高考的必考内容，求数列的通项是“数列”一章研究的主要问题，在求数列通项公式时，因为一般数列没有统一的通项公式，同学们常因得不到解题要领而束手无策。数列是紧结着第二章函数之后的内容，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值。求数列通项的实质是关于正整数为自变量的函数解析式。学习数列一方面可以加深学生对函数的认识，是他们了
7、解不仅有自变量连续变化的函数，还有自变量离散变化的函数；另一方面，又可以从函数的观点出发变动地，直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步。但是一般数列一直没有统一的通项公式，这是中学的一大难点，还需要我们进一步的去探究。2. 预备知识定义1 按一定的顺序排成一列的数叫做数列。数列中的每个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项（或首项），第2项，第3项，第4项排在第位的数称为这个数列的第项。数列的一般形式可以写成,。其中，是数列的第项。有时我们把这个数列简记为,如果数列的第项与之间关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 。定义2 如果一个数列从第项起，每
8、一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。等差数列的通项公式求和公式或.注意均属于正整数。定义3 如果一个数列从第项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。等差数列的通项公式,求和公式当时， 。当时，。3 数列通项公式的求法。3.1 观察法。观察法就是从横向和纵向两方面来观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的内在联系，从而将横向和纵向的规律加以整合而得到数列的通项公式。 例1 求，.的通项公式。 解析 将数列的项变为，.观察发现，符
9、号的正负号交替出现,分母是一组平方数，分子比分母大1，因此.点评 观察法是求数列通用公式的一种常用方法，熟悉观察法从而灵活运用观察法为数列求解提供了一条便捷之道，运用观察法的关键是找出各项与项数的关系。3.2 归纳法。运用归纳思想方法，即“由一般到特殊”。这种方法经常帮助我们探索和发现并解决一些数学问题，甚至得出很重要的数学结论。应用这个方法可以用“有限”来解决“无限”的问题。在求数列通项时，也可用归纳猜想的方法。例 已知数列的第一项且,猜想的表达式并证明。解析：由已知条件知， 猜想用数学归纳法证明：假设时，猜想成立。假设时成立，即，那么当时有所以当时结论也成立。由可知，对于一切大于等于2的正
10、整数都成立。 点评 一般模式为“特例猜想数学归纳证明”。研究数列经常用到此模式解决一些与自然数有关的问题。3.3 公式法3.31 当已知数列为等差或等比数列时，可直接运用等差或等比数列的通项公式，求得首项及公差或公比即可. 例3.已知是一个公差大于的等差数列，且满足，。求数列的通项公式。 解析：设等差数列的公差为，依题知，由已知得 例4.已知为等比数列，求的通项公式。 解析：设等比数列的公比为，由题知 所以 点评 直接代通项公式便可求。3.32 已知数列的前项和时，通常用公式 用此公式时要注意结论的两种可能，一种是“一分为二”即分段式；另一种是“和二为一”即和合为一个表达式。 例5.已知数列的
11、前项和满足，求 。 解析：由是首项为2，公差为2的等差数列 即 . 点评 要先分n=1和n2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。3.4 递推关系变形法。3.41 型（用累加法）对于形如型的数列，我们可以根据递推关系，写出取1到时所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。即：将上述各式子相加可得：。 例6.已知数列满足，,求。 解析：由 将这个式子累加得 . 点评 累加法是反复利用递推关系得到（n-1)式子相加，从而得到通项。3.42 型（用累乘法）对于形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出取1到时的所有递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。即：将上述个式子相乘，可
12、得：. 例7 已知是首项为1的正项数列，且 ，求通项。 解析 已知等式可化为： 即 时，. 点评 通过因式分解求出和的关系，在将它们的递推式相乘便得到通项公式。3.5 辅助数列法。 所谓的数列辅助就是解决数列问题时，需要做出一个原数列有某种联系的数列（例如 把数列的前项都乘以一个因数，就得到一个辅助数列），它就像解答几何问题时所作的辅助线。利用辅助数列解题的方法就是辅助数列法，是一种研究解答数列的重要方法。3.51 形如型，转化为等比数列来求解，分三种情况讨论：（1）为常数型，即， 从而有（其中均为常数，）。 解法 一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，在利用换元法转化为等比数列求解。
13、 例8 已知数列满足，求通项公式。 解析 由数列的递推公式，变形为，整理比较得，即是首项为8，公比为2的等比数列，。点评 通过对常数3分解，进行适当组合，便得等比数列，从而达到解决问题的目的。 （2）为一次型，即（其中是常数，且），则可以从两个方向来解答。 待定系数法。 例9 在数列中，而且，求数列的通项公式。 解析 数列的递推公式可以写成， 即，与题设比较得， ，即是首项为2，公比为3的等 比数列，即。 相减法。 例10 在数列中，求数列的通项公式。 解析 由得时， ，令， 从而有，故是以20为首项，5为公比的等 比数列，即，用累乘法得 点评 本题的关键是将数列转化为等比数列，然后根据数列通项公式或采 用累乘法便可求解。 (3) 为指数型，即，（其中是常数，且）。 若，即，用累加法即可求。 若，即，则可以从两个方向来解答。 (i).等式两边同除以或。 等式两边同时除以，即有，令， 则 ，用累加法便可求。 等式两边同时除以,即有，令，则 ，根据3.51的（1）便可求解。 （ii).待定系数法，是解题中常用的方法。 设，通过比较系数得出，从而转化为求 等比数列的通项。 例11.已知数列中，,，求通项公式。 解析一 两边同时除以，得，令 得 ，从而. 解析二 两边同时
