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1、利用线面平行性质定理找交线题目中有线面平行，通常会用到其性质定理.用好线面平行性质定理的关键是：“构造 平面找交线”即（1）构造（找到或作出）过已知直线的平面，题中没平面，自己作出；（2） 该平面与已知平面相交题中有平面，找到即可.一、构造平面，画两相交平面的交线例1如图1,三棱锥A-BCD中，H, F分别是AC，BD的中点，过H, F作平行 于AD的平面分别交AB, CD于E G .试确定点E G的位置.解：Q AD 平面 EFGH，AD u 平面 ACD，面 ACDI 面 EFGH = HG，HG AD .在AACD中，HG AD，H是AC中点，.G是CD中点.几同理，EF AD，E是AB
2、的中点.综上，E，G分别是AB, CD的中点.评注：过H, F且平行于AD的平面EFGH，看似给出，实际上仍画不出，因为不知 道E, G的位置.找到面ACD （ AD u面ACD，面ACDI面EFGH二HG ）,利用线 面平行的性质定理，证得交线HG,确定点G的位置.两相交平面的交线可通过平行线画 出，这是对公理3的一个补充说明，有助于加深对公理3的理解.公理3说明，两平面相交， 有且只有一条交线.至于交线怎么画，公理3没说.两平面相交只见到一个公共点，其交线 的画法：（1）利用公理1再找一个交点；（2 ）利用线面平行的性质定理，过该公共点作平 行线.例2如图2,四棱锥P- ABCD中，ABC
3、D是平行四边形.画出面ABP与面CDP的D交线.解：QP是面ABP与面CDP的公共点，.面ABP与面CDP必相交，设面ABPI面CDP二l，则P e l Q ABCD是平行四边形， AB CD .又QAB匸面CDP , CDu面CDP , AB面CDP .又 QAB u 面 ABP，面 ABPI 面 CDP 二 l, l AB .在面ABP内，过点P作直线l AB，则直线l就是面ABP与面CDP的交线. 评注:该题中没有线面平行，但可找到AB CD ,再证AB 面CDP ,找到平面ABP,用其性质定理，画出交线.使用线面平行的性质定理时，要把条件写全，性质定理与其判定 定理往往一起用.有线面平
4、行时可用，没有线面平行，自己创造条件用.该题是先设再证后 画，当然也可先画后证.二、构造平面，证明两直线平行例3如图3,已知a a , a 0 , aI卩=b .求证：a b .证明：设A ea且A电b , B e 0且B电b.直线a与点A确定的平面丫交a于c .Q a a , a uy , a I y = c , /. a c .直线a与点B确定的平面y 交0于d.Q c d , c wB , d u B c B .评注：线面平行的性质定理，是证明平面内一直线与平面外一直线平行的判定定理和存 在性依据因此，当一条直线与一平面平行时，总可在平面内找到一直线与已知直线平行， 但这条直线是通过两平面的交线来找到的，而不是作已知直线的平行线，这也是该处常见的 错误.在初中的平面几何里，在同一平面内可随便作一直线的平行线；在立体几何里，一直 线的平行线可任意作，但想在某个平面内作一直线的平行线，需首先证明它的存在性，然后 再作其实，完成它的存在性证明，也就是完成线面平行性质定理的使用过程.利用线面平行的性质定理，通过“构造平面找交线”可画两相交平面的交线，可证两 直线平行，而且能加深对公理的理解.练习：如图4,已知三棱锥A-BCD，E, F分别是AC，AD的中点.画出面BEF与 面BCD的交线.
