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1、泛函分析考试试卷、选择题。A、C、1、下列说法不正确的是（）.n维欧式空间Rn是可分空间1是不可分空间答案：DD、B、全体有理数集为Rn的可数稠密子集若X为不可数集则离散度量空间X是可分的2、设T是度量空间（X,d）到度量空间（Y,d）的映射，那么T在Xo?x连续的充要条件是（）A、当 Xn 一 X0B、当 Xn一X0C、当 X0一XnD、当 Xn 一 X0 答案：D（n 一oo）时，必有 （n 一oo）时，必有 （n 一oo）时，必有(n-0)时，必有TXnTX0 Tx 0f TXn Tx nTX0 Tx n- Txo(n 川 (n 川 (n 川 (n 0)3、在度量空间中有（ A、柯西点列
2、一定收敛, B、柯西点列一定收敛,）但是每一个收敛点列不一定是柯西点列而且每一个收敛点列是柯西点列C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案：C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B、Lpa,b（pN）是巴拿赫空间C、空间1P是巴拿赫空间D、赋范线性空间的共轲空间不是巴拿赫空间答案：D5、卜列对共轲算子性质描述错误的是（B、(A*)*=A*D、(aA)*= a A*A、(A+B)*=A*+B*;C、当X=Y时,(AB)*=B*A*答案：B二、填空题1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续
3、映射的充要条件为Y中的任意开集M为答案：原像丁1M是X中的开集2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的O.答案：连续算子。3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切x?X有答案：（Tx,x）=04、有界线性算子T的共轲算子T也是有界线性算子，并且答案：=5、设fn是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果fn在X的每点X处有界，那么fn答案：一致有界三、判断题1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。()V2、设Ti和T2是希尔伯特空间X上两个自伴算子，则Ti*T2自伴的充要条件是Ti*T2=T2*Ti。()V3、强收
4、敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。()X4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则T的逆算子T-1不是有界线性算子。()X5、无界算子不是闭算子。()X四、证明题1.设X是赋范线性空间，f是X上连续线性泛函,证明f的零空间N(f)是X中闭子空间证明：又何x,yN(f),及任何，f(xy)f(x)f(y)0所以xyN(f),所以N(f)是线性空间.又设xnN(f，且xnxX,由f连续f(x)limnf(xn)0所以xN(f).所以N(f)是闭集.2.X是赋范空间，A, B B (XA, B是正则算子，所以AX)是X上正则算子，证明T A B是X上正则算子.3.H,1,
5、B 1存在，且A1，B令 S B 1 A 1 B (X X),则 S T所以S T 1,所以T是正则算子.设H是实内积空间，A是H上自伴算子证明A 0B (XI,X)1 A 1 I的充分必要条件是对所有xA x, x 0.证明必要性：A x, x充分性：对任意x, y0, xH0, xH.0 A (xA x, xA x, yy), x由T是自伴算子a x, ya y, xa y, xa y, xa y, y所以所以所以4、.证明:2 A x, yA x 0A 0.lp(1 Px, yHy, a xHA x, y ,)是可分空间。解：考虑集合B(1,2,且坐标都是有理数的元素构成,n ,0, )
6、；ri Q，n 1,即B是由至多有限个坐标不为0, B是可数集。对于x(为)1P ,有|xp)i 10, N 0 ,当 n N 时，|xi|P) (-)p i n 12n|xi使彳3i1,rn,有有理数的稠密性，可取得r1，r2,rilp)(-)p令y(r1,2,rn,0,)Blnp1/ppp、1/pIIXy|(|Xiyi|)(|Xiri|为|)i1i1in1np1/pp1/p_p1/p(IXiriIp)p(|XiIp)p(2(-)p)pi1in12即B在lp(1p)中稠密。依定义知T(1p)是可分的。5、设H是内积空间，Xn，X，yn，yH,则当XnX,yny时，(xn,yn)(x,y),即
7、内积关于两变元连续。解：h是内积空间，设|是由其内积导出的范数，由于XnX,yny,所以0,叫使得当nno时均有|Xnx|和11yny|同时由于人丫，故知义有界，XH所以|X|有限。因此可取Msup(|x|,|ynII)I n因此I(Xn,yn)(X,y)II(Xn,yn)(x,yn)(x,yn)(X,y)II(Xn,yn)(x,yn)II(x,yn)(x,y)II(Xnx,yn)II(x,yny)III XnXIIIIynIIIIxIIIIynyIIIMIXnxMIIyyII2Mlim(Xn,yn)(X,y)0故n，即(Xn,yn)(X,y)五、计算题1、在实数轴R上，令d(x,y)Ixy1P，当p为何值时，R是度量空间，p为何值时，R是赋范空间。解：若R是度量空间，所以x,y,zR,必须有：d(x,z)d(X,y)d(y,z)成立即|Xz|p|Xy|pIyz|p,取X1,yQz1,有2P1p1p2,所以，p1若R是赋范空间，d(x,0)|X|X|P,所以x,kR,必须有：|kx|k|X|成立，即|kx|p|k|x|p,p1,当p1时，若R是度量空间，p1时，若R是赋范空间。
