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1、 . 例1:二次方程式计算Y=a0+a1x+a2x2y=-6.3+2.4x+1.3x2下表为自动计算系数,给出9组x和y的数值,自动计算出系数。原理与多项式拟合说明附后。第一节 最小二乘法的根本原理和多项式拟合一 最小二乘法的根本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,m)误差(i=0,1,m)的大小,常用的方法有以下三种:一是误差(i=0,1,m)绝对值的最大值,即误差 向量的数;二是误差绝对值的和,即误差向量r的1数;三是误差平方和的算术平方根,即误差向量r的2数;前两种方法简单、自然,但不便于微分运算 ,后一种方法相当于考虑 2数的平方,因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量
2、误差(i=0,1,m)的整体大小。数据拟合的具体作法是:对给定数据 (i=0,1,,m),在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,m)的平方和最小,即=从几何意义上讲,就是寻求与给定点(i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线图6-1。函数称为拟合 函数或最小二乘解,求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中,函数类可有不同的选取方法.61二 多项式拟合假设给定数据点(i=0,1,m),为所有次数不超过的多项式构成的函数类,现求一,使得 (1)当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式1的称为最小二乘拟合多项式。特别地,当n=1时,称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数,因此
3、上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件,得 (2)即 (3)3是关于的线性方程组,用矩阵表示为 (4)式3或式4称为正规方程组或法方程组。可以证明,方程组4的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式4中解出(k=0,1,,n),从而可得多项式 (5)可以证明,式5中的满足式1,即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差,记作由式(2)可得 (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步: (1) 由数据画出函数粗略的图形散点图,确定拟合多项式的次数n;(2) 列表计算和;(3) 写出正规方程组,求出;(4) 写出拟合多项式。在实际应用中,或;当时所得的拟合多
4、项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 例1 测得铜导线在温度()时的电阻如表6-1,求电阻R与温度 T的近似函数关系。i0123456()19.125.030.136.040.045.150.076.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解 画出散点图图6-2,可见测得的数据接近一条直线,故取n=1,拟合函数为列表如下i019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.1
5、83.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式,可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如,由R=0得T=-242.5,即预测温度T=-242.5时,铜导线无电阻。6-2例2 例2 实验数据如下表i01234567813456789101054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解 设拟合曲线方程为列表如下I0110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296
6、636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正规方程组解得故拟合多项式为*三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设节点互异,那么法方程组4的解存在唯一。证 由克莱姆法那么,只需证明方程组4的系数矩阵非奇异即可。用反证法,设方程组4的系数矩阵奇异,那么其所对应的齐次方程组 7有非零解。式(7)可写为 8将式8中第j个方程乘以(j=0,1,,n),然后将新得到的n+1个方程左右两端分别 相加,得因为其中所以 (i=0,1,m)是次数不超过n的多项
7、式,它有m+1n个相异零点,由代数根本定理,必须有,与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组4必有唯一解 。定理2 设是正规方程组4的解,那么是满足式1的最小二乘拟合多项式。证 只需证明,对任意一组数组成的多项式,恒有即可。因为(k=0,1,,n)是正规方程组4的解,所以满足式2,因此有故为最小二乘拟合多项式。*四 多项式拟合中克制正规方程组的病态在多项式拟合中,当拟合多项式的次数较高时,其正规方程组往往是病态的。而且正规方程组系数矩阵的阶数越高,病态越严重;拟合节点分布的区间偏离原点越远,病态越严重;(i=0,1,,m)的数量级相差越大,病态越严重。为了克制以上缺点,一般采用以下措施:
8、尽量少作高次拟合多项式,而作不同的分段低次拟合;不使用原始节点作拟合,将节点分布区间作平移,使新的节点关于原 点对称,可大大降低正规方程组的条件数,从而减低病态程度。平移公式为: (9)对平移后的节点(i=0,1,,m),再作压缩或扩处理: 10其中,r是拟合次数 11经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小,特别对于等距节点,作式10和式11两项变换后,其正规方程组的系数矩阵设 为A,那么对14次多项式拟合,条件数都不太大,都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下:拟合次数1234=19.950.3435在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式;另一种
9、方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程 组的系数矩阵为对角矩阵,从而防止了正规方程组的病态。我们只介绍第一种,见第三节。例如 m=19,=328,h=1, =+ih,i=0,1,,19,即节点 分布在328,347,作二次多项式拟合时 直接用构造正规方程组系数矩阵,计算可得严重病态,拟合结果完全不能用。 作平移变换用构造正规方程组系数矩阵,计算可得比降低了13个数量级,病态显著改善,拟合效果较好。 取压缩因子作压缩变换用构造正规方程组系数矩阵,计算可得又比降低了3个数量级,是良态的方程组,拟合效果十分理想。如有必要,在得到的拟合多项式中使用原来节点所对应的变量x,可写为仍为一个关于x的n次多项式,正是我们要求的拟合多项式。 /